Алгебраическая проблема собственных значений
Рефераты >> Математика >> Алгебраическая проблема собственных значений

Собственные значения

-----------------------------------

Действит. Миним.

-----------------------------------

25.52757

0.

-5.63130

0.

0.88433

3.44455

0.88433

-3.44455

-0.68247

1.56596

-0.68247

-1.56596

7. ВЫБОР АЛГОРИТМА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

Выбор подходящего алгоритма для решения той или иной за­дачи на собственные значения определяется типом собственных значений, типом матрицы и числом искомых собственных зна­чений. Чем сложнее задача, тем меньше число алгоритмов, из которых можно выбирать. Таблица 1 позволяет облегчить этот выбор. Обычно пакеты математического обеспечения ЭВМ со­держат подпрограммы, в которых используются все эти алгорит­мы или некоторые из них. Одним из эффективных способов ис­пользования имеющегося математического обеспечения является одновременное применение двух подпрограмм, позволяющее совместить их лучшие качества. Например, имея матрицу общего вида, можно методом Хаусхолдера свести ее к виду Гессенберга, а затем с помощью алгоритма QR найти собственные значения. При этом будут использованы как быстрота, обеспечиваемая ме­тодом Хаусхолдера, так и универсальность алгоритма QR.

Таблица 1 Выбор алгоритма решения задачи на собственные значения

Название алгоритма  

Применяет­ся для  

Результат  

Рекомендуется для

отыскания собственных значений

Примечание  

Наибольшего или наименьшего

Всех <=6

Всех >=6

Определитель (итерация)

Матриц общего вида

Собственные значения

 

*

 

Требует нахождения корней полинома общего вида

Итерация

(итерация)  

То же  

Собственные значения и собственные векторы

*  

*  

*  

Обеспечивает наилучшую точность для наибольшего и наименьшего собственных значений

Метод Якоби (преобразо­вание)

Симмет­ричных матриц

Диагональ­ная форма матрицы

 

*  

*  

Теоретически требует бесконечного числа шагов

Метод Гивенса

(преобразо­вание)  

То же  

Трехдииональльная форма матрицы

 

*  

*  

Требует знания корней простого полинома

Несиммет­ричных матриц

Форма Гессенберга

 

*  

*  

Требует применения дополнительного метода

Метод Хаусхолдера (преобразова­ние)

Симмет­ричных матриц

Трехдиаго­нальная форма матрицы

 

*  

*  

Требует знания корней простого полинома

Метод Хаусхолдера (преобразова­ние)

Несиммет­ричных матриц

Форма Гессенберга

 

*

*

Требует применения дополнительного метода

Метод LR (преобразо­вание)

Матриц общего вида

Квазидиаго­нальная форма матрицы

 

*  

*  

Бывает неустойчив

Метод QR (преобразова­ние)

То же  

То же  

  

*  

*  

Лучший метод, облада­ющий наибольшей общностью


Страница: