y

f©

0 a c b X

Корнем или нулём функции называют такое значение аргумента х0 , при котором функция f(x0)=0.

С учётом этого понятия указанное свойство можно сформулировать так: между двумя различными корнями дифференцируемой функции находится хотя бы один корень её производной (т. Ролля).

Поскольку F(x)=0 и F(a)=0, то к функции F(t) можно применить свойство:

Так как с заключено между а и х, то его можно представить в виде

Говорят, что это равенство выражает остаточный член формулы в форме Лагранжа. Подставим его в формулу:

Эту формулу называют формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

Если а=0, то

Формула Тейлора для функций sinx, cosx, ex

Выведем формулы Тейлора для элементарных функций f(x)=sinx, f(x)=cosx, f(x)=ex.

Рассмотрим функцию f(x)=sinx. Найдём производную n+1- го порядка.

Вычислим значение функции и её производной при х=0.

Подставим эти значения в формулу Тейлора:

2.Аналогично находим формулу Тейлора для f(x)=cosx.

3.Рассмотрим функцию f(x)=ex.

, .

, .,

4.Рассмотрим функцию f(x)=(a+x)n ,

Эту формулу называют биномом Ньютона. Отметим частные случаи:

n=2 (a+x)2=a2+2ax+x2

n=3 (a+x)3=a3+3a2x+3ax2+x3

Приближение функций sinx, cosx, ex алгебраическими многочленами.

В формуле Тейлора для sinx положим n=2m-1

Остаточный член этой формулы имеет вид:

Оценим его модуль. Поскольку Отбрасывая остаточный член, получим приближённо:

. Она может быть применена для вычисления значений функции f(x)=sinx при заданных значениях аргумента х. Эти вычисления сводятся к вычислениям значений алгебраического многочлена степени 2m-1 . Следовательно, вместо функции f(x)=sinx можно рассматривать алгебраический многочлен, который приближённо заменяет её. Говорят, что указанный многочлен приближает данную функцию. Оценка такого приближения определяется формулой:

Полагая n=2m в формуле для cosx, аналогично: , погрешность .

Например, для приближённой формулы

В случае функции f(x)=ex, получаем:

В общем случае, отбросив остаточный член, получим приближённую формулу:. Она позволяет заменить данную функцию алгебраическим многочленом n-й степени:

Ряд Тейлора.

Обратимся к формуле (1). Разность между функцией f(x) и её многочленом в правой части называют отклонением, которое выражается остаточным членом rn(x).Если в формуле рассматривать всё больше и больше членов, то может оказаться, что отклонение стремится к нулю, но не для всякой функции и не для любого значения х. Однако существует широкий класс функций, для которых остаточный член действительно стремится к нулю при , по крайней мере для значений, заполняющих некоторый промежуток, содержащий т.а. Именно для таких функций формула Тейлора позволяет вычислить f(x) с любой степенью точности. Если , то из формулы Тейлора следует:

Число слагаемых является неограниченным. Выражение в правой части формулы называют рядом Тейлора, а функцию f(x)- суммой этого ряда.

Ряд Тейлора можно записать в таком виде:

, при а=0 Выражение в правой части этой формулы называют рядом Маклорена. Получаем:

Условие сходимости:

Для разложения f(x) в степенной ряд (т.е. в ряд Тейлора), необходимо и достаточно, чтобы предел остаточного члена формулы Тейлора был равен нулю:

Степенной ряд сходится при любых х или говорят, что его областью сходимости является промежуток . Из этих формул видно, что sin(-x)=-sinx, т.е. f(x)=sinx- нечётная функция.