Рис. 10 Используя последнее выражение можно легко получить соотношение, связывающее энергию и импульс в релятивистской физике:

. Эта зависимость энергии от импульса изображена на Рис. 10. При малых значениях импульса E = m c2 + p2/2 m, а при достаточно больших импульсах E = p c. Иногда формулу (21), записывают в виде E = m(v) c2, вводя "релятивистскую массу" частицы, зависящую от скорости:

m(v) = m Ö1 - (v/c)2 .

Саму же формулу (21) истолковывают, как "эквивалентность" энергии и массы в релятивистской физике. Однако такое утверждение приводит лишь к путанице (а в преждние времена вело даже к ожесточенным идеологическим спорам). Масса и энергия совершенно разные характеристики частицы. Масса - инвариант, а энергия - динамическая характеристика, зависящая от выбора системы отсчета. Взаимосвязь энергии и массы частицы имеет место только в системе покоя частицы.

Поэтому понятие "массы, зависящей от скорости" [(m)/([(1 - (v/c)2)])] лишено физического смысла!

3.3 Частицы с нулевой массой покоя

Если в формулах (20,21) формально положить скорость частицы v = c, то энергия и импульс частицы обращаются в бесконечность. Это значит, что частица с отличной от нуля массой покоя не может двигаться со скоростью света. В релятивистской механике однако предполагается, что существовуют частицы с массой покоя равной нулю, всегда движущиеся со скоростью света. Из (22) видно, что для таких частиц модуль импульса и энергия связаны соотношением:

| ® p | = E c ,

откуда следует, что здесь

(E/c)2 - ® p 2 = 0

в соответствии с тем, что m = 0. К частицам с нулевой массой покоя относятся, например, фотоны - кванты электромагнитного поля. В больших деталях их свойства будут обсуждены в разделе "Квантовая теория" - задание N 5.

3.3 Релятивистский эффект Доплера

Рассмотрим плоскую монохроматическую волну

E( ® r ,t) = E0 cos æ è ® k · ® r - w t ö ø .

(23)

Здесь - частота волны, а = k - волновой вектор (k = [()/( c)] - волновое число, - единичный вектор в направлении распространения волны (см. Рис. 11).)

Рис. 11

Выясним закон преобразования частоты и волнового вектора при переходе в другую инерциальную систему отсчета. Будем для определенности считать, что волна распространяется под углом  к оси 0x, вдоль которой со скоростью V движется "штрихованная" система отсчета S. Из Рис. 11 видно, что существуют пространственно - временные точки, в которых векторы поля обращаются в нуль (узловые точки волны - те точки, в которых косинус равен нулю). Ясно, что это свойство поля носит объективный характер и должно выполняться во всех инерциальных системах отсчета. Отсюда следует, что фаза электромагнитной волны должна быть инвариантна!

® k · ® r - wt = ® k ¢ · ® r ¢ -w¢ t¢.

В декартовых координатах это условие принимает вид:

kx x +ky y + kz z -w t = kx¢ x¢ +ky¢ y¢ + kz¢ z¢ - w¢ t¢.

(24)

Поскольку x, y, z, t связаны с x¢, y¢, z¢, t¢ преобразованием Лоренца , то для обеспечения инвариантности фазы необходимо, чтобы выполнялись преобразования

w¢ = w- V kx Ö1 - V2/c2 , kx¢ = kx - V/c2 w Ö1 - V2/c2 , ky¢ = ky, kz¢ = kz.

(25)