Сравнение с типичными наблюдаемыми кривыми вращения галактик показывает, что для некоторых галактик теория для случая n=3 наихудшим образом соотносится с наблюдениями, а оба варианта случая n=2 гораздо лучше. Конечно, случай n=2 скорее следует рассматривать как предельный. В действительности более вероятен промежуточный случай 3>n>2, и правильно теоретически рассчитанное вращение будет чем-то средним. По крайней мере, асимптотическое падение скорости вращения у реальных галактик, похоже, подчиняется промежуточному закону между V ~r-1/2 и V ~ Const.

Этот вопрос нуждается в более подробных исследованиях.

8. В стиле Эйнштейна и Фридмана-Робертсона-Уокера.

Для ФРУ-модели мы можем записать уравнения Эйнштейна в произвольной целой размерности пространства n. Так же, как и в стандартной трехмерной ФРУ-модели, плотность вещества (ее физическая размерность теперь есть г∙см-n) определяет, быть ли n-мерному пространству замкнутым, плоским или открытым. Аналогично вводится и параметр плотности Ω(n). Для наиболее интересных значений числа n (3>n>2) эволюция моделей точно такая же, как и при n=3: они все расширяются из начальной сингулярности с последующим сжатием замкнутого мира или вечным расширением плоского и открытого. (Не будем рассматривать инфляционные модели, в которых начальные условия не предусматривают сингулярности.)

Характерно, что возраст Вселенной при 3>n>2 всегда оказывается больше, чем в стандартной модели. В левом верхнем углу таблицы значение возраста расчитано при Н0 = 50 км/с ∙ Мпк, а в правом нижнем углу – при Н0 = 80 км/с ∙ Мпк. Мы видим, что наибольший и одинаковый возраст получается для n=2 или Ω(n)=0 (мир с пренебрежимо малой плотностью вещества). Видно, что чем больше Ω(n) при заданном n, тем меньше возраст. Мы уже упоминали, что это одна из трудностей модели с темной материей. Для плоского мира (Ω(n)=1) возраст Вселенной выражается простой зависимостью

T = 2/nH0-1

, где Н0 – современное значение параметра Хаббла.

При n=3 отсюда следует стандартная формула, а при n=2 возраст получается в полтора раза больше стандартного.

Случай n=2 для уравнений Эйнштейна выделен, так как решения с типичными ФРУ-свойствами существуют только для n>2. При n=2, независимо от знака кривизны, другими словами при всех Ω(n) существует линейно расширяющаяся Вселенная. Ее возраст составляет 19.6 млрд лет для Н0= 50 км/с ∙ Мпк и 12.2 млрд лет при Н0=80 км/с ∙ Мпк. Последнее тоже не очень-то совместимо с четырнадцатимиллиарднолетними шаровыми скоплениями.

Однако замечательно, что при n=2, помимо линейно растущего решения, существует статическое. Когда-то подобное решение казалось очень привлекательным – голубая мечта космологов старшего поколения. Психологически вечная статическая Вселенная уютнее и надежнее. В трехмерном пространстве, в отличие от двумерного случая, статическое решение невозможно без дополнительных предположений. Стремясь получить его, Эйнштейн в 1917 г. ввел в свои уравнения дополнительный, т.н. космологический член, содержавший новую неизвестную, космологическую постоянную.

В нашем двумерном случае постоянный радиус Вселенной RB может быть выражен через полную массу вещества во Вселенной МВ и ее двумерную плотность ρ(2). Двумерный объем вещества равен 4πRB2, поэтому

RB = √MB / 4πρ(2).

Итак, мы убедились, что в размерности 3>n>2, возраст Вселенной в однородной и изотропной модели всегда больше, чем при n=3, но остающийся небольшой зазор в возрасте для нестатических моделей, на наш взгляд, свидетельствует в пользу статической модели с n=2. Пока в этих построениях размерность считалась постоянной на космологических масштабах, но более привлекательным кажется ее постепенное изменение от 3 до 2, причем значение 2 – предельное. Тогда, быть может, статистическая Вселенная становилась бы двумерной на пределе расширения.

Подведем итоги. Показано, что размерность меньше трех помогает решить космологические проблемы. Но что понимается под размерностью? Является ли размерность два “глобальной”, т.е. пространство становится дырчатым, фрактальным? Это не известно. Математическое описание в том виде, в котором оно дано, подразумевает глобальную размерность, однако возможно, что те же результаты будут справедливы и для локальной. В любом случае можно отделаться словом динамическая размерность, т.е. следующая из закона тяготения. Но такое понимание размерности существенно ограничено. Чтобы убедиться, что речь идет именно о размерности, а не о модификации закона тяготения, нужно, по крайней мере, доказать, что силы электрического и магнитного взаимодействия и распространения света имеют надлежащую зависимость от расстояния. С этой точки зрения следует проанализировать все независимые космологические явления, которые нам доступны. Положительный результат привел бы к великолепному пересмотру наших представлений о Вселенной.