Требуется выяснить - какая из функций - линейная, квадратичная или экспоненциальная наилучшим образом аппроксимирует функцию заданную таблицей 1.

Решение.

Поскольку в данном примере каждая пара значений встречается один раз, то между и существует функциональная зависимость.

Для проведения расчетов данные целесообразно расположить в виде таблицы 2, используя средства табличного процессора Microsoft Excel.

Таблица 2

Расчет сумм.

Поясним как таблица 2 составляется.

Шаг 1. В ячейки A2:A26 заносим значения .

Шаг 2. В ячейки B2:B26 заносим значения .

Шаг 3. В ячейку C2 вводим формулу =A2^2.

Шаг 4. В ячейки C3:C26 эта формула копируется.

Шаг 5. В ячейку D2 вводим формулу =A2*B2.

Шаг 6. В ячейки D3:D26 эта формула копируется.

Шаг 7. В ячейку F2 вводим формулу =A2^4.

Шаг 8. В ячейки F3:F26 эта формула копируется.

Шаг 9. В ячейку G2 вводим формулу =A2^2*B2.

Шаг 10. В ячейки G3:G26 эта формула копируется.

Шаг 11. В ячейку H2 вводим формулу =LN(B2).

Шаг 12. В ячейки H3:H26 эта формула копируется.

Шаг 13. В ячейку I2 вводим формулу =A2*LN(B2).

Шаг 14. В ячейки I3:I26 эта формула копируется.

Последующие шаги делаем с помощью автосуммирования .

Шаг 15. В ячейку A27 вводим формулу =СУММ(A2:A26).

Шаг 16. В ячейку B27 вводим формулу =СУММ(B2:B26).

Шаг 17. В ячейку C27 вводим формулу =СУММ(C2:C26).

Шаг 18. В ячейку D27 вводим формулу =СУММ(D2:D26).

Шаг 19. В ячейку E27 вводим формулу =СУММ(E2:E26).

Шаг 20. В ячейку F27 вводим формулу =СУММ(F2:F26).

Шаг 21. В ячейку G27 вводим формулу =СУММ(G2:G26).

Шаг 22. В ячейку H27 вводим формулу =СУММ(H2:H26).

Шаг 23. В ячейку I27 вводим формулу =СУММ(I2:I26).

Аппроксимируем функцию линейной функцией . Для определения коэффициентов и воспользуемся системой

Используя итоговые суммы таблицы 2, расположенные в ячейках A27, B27, C27 и D27, запишем систему в виде

решив которую, получим и .

Таким образом, линейная аппроксимация имеет вид .

Решение системы проводили, пользуясь средствами Microsoft Excel. Результаты представлены в таблице 3.

Результаты коэффициентов линейной аппроксимации.

В таблице 3 в ячейках A37:B38 записана формула {=МОБР(A33:B34)}.

В ячейках D37:D38 записана формула {=МУМНОЖ(A37:B38;C33:C34)}.

Далее аппроксимируем функцию квадратичной функцией . Для определения коэффициентов , и воспользуемся системой

Используя итоговые суммы таблицы 2,

расположенные в ячейках A27, B27, C27, D27, E27, F27 и G27 запишем систему в виде

решив которую, получим , и .

Таким образом, квадратичная аппроксимация имеет вид

.

Решение системы проводили, пользуясь средствами Microsoft Excel. Результаты представлены в таблице 4.

Результаты коэффициентов квадратичной аппроксимации.

В таблице 4 в ячейках E38:G40 записана формула {=МОБР(E33:G35)}.

В ячейках I38:I40 записана формула {=МУМНОЖ(E38:G40;H33:H35)}.

Теперь аппроксимируем функцию экспоненциальной функцией . Для определения коэффициентов и прологарифмируем значения и используя итоговые суммы таблицы 2, расположенные в ячейках A27, C27, H27 и I27 получим систему

где .

Решив систему, найдем , .

После потенцирования получим .

Таким образом, экспоненциальная аппроксимация имеет вид

.

Решение системы проводили, пользуясь средствами Microsoft Excel. Результаты представлены в таблице 5.

Таблица 5

В таблице 5 в ячейках D45:E46 записана формула {=МОБР(D42:943)}.

В ячейках G45:G46 записана формула {=МУМНОЖ(D45:E46;F42:F43)}.

В ячейке G47 записана формула =EXP(G45).

Вычислим среднее арифметическое и по формулам: