2.1 Исследование функции.

Вычислим первую и вторую производные данной функции

Необходимо выбрать интервал, на котором будем находить решение.

Для отделения корней существует несколько способов. Наиболее популярные из них – графический и аналитический.

В литературе рассматриваются эти способы по отдельности. По заданию курсовой работы требуется отделить корни каждым из этих способов. Рискну нарушить это требование, и объединить эти два способа в один. То есть исследовать функцию аналитически и по результатам исследования построить приблизительный график функции.

Областью значений исходного уравнения является вся ось .

Приравняв первую производную к нулю, мы можем получить критические точки данной функции (точки минимумов и максимумов, или же точки, в которых функция не определена).

Стоит отметить, что для вычисления квадратного корня, также применимы числовые методы, на которых и основаны микрокалькуляторы и программы для ЭВМ. Данные методы основаны на логарифмировании корня и последующего вычисления.

вычисляется при помощи числового ряда

Уравнение имеет решение , . Изменив знак равенства на знак неравенства (< или >), можем найти промежутки возрастания и убывания функции.

Функция возрастает на промежутке и убывает на промежутке . Подставив в исходное уравнение значения критических точек, имеем в результате для и для .

Приравняв вторую производную к нулю, мы можем найти точку перегиба и, соответственно, найти интервал, на котором функция выпуклая и вогнутая.

Далее необходимо найти, интервалы, в которых график функции пересекает ось .

Сразу можно определиться, что так при значение функции больше нуля, а при - меньше нуля, то одна из точек пересечения, будет лежать на данном интервале. Произведя не хитрые математические вычисления значения функции для , сузим интервал до .

Далее рассмотрим оставшиеся два интервала.

Известно, что при - значение функции отрицательно, а в первой критической точке положительно, то будем сужать этот промежуток. В данном случае применим метод половинного деления.

Таким образом получили еще один интервал .

Следующий будет от и до бесконечности.

Произведем аналогичные вычисления и получим промежуток

На основании произведенного анализа построим график исходной функции.

2.2 Метод хорд.

Сразу необходимо заметить, что существуют два случая (варианта) при решении методом хорд.

Случай первый. Первая и вторая производные функции имеют одинаковые знаки, т.е. .

В этом случае итерационный процесс осуществляем по формуле

Случай второй. Первая и вторая производные функции имеют разные знаки, т.е. .

В этом случае итерационный процесс осуществляем по формуле

Для оценки точности приближение можно воспользоваться формулой

,

где при , – точное значение корня.

Итак решим наше уравнение методом хорд с точностью .