Пусть G произвольная группа и - любой ее элемент. Если некоторая подгруппа содержит g , то она содержит и все степени . С другой стороны, множество очевидно является подгруппой G .

Определение.

Подгруппа Z(g) называется циклической подгруппой G с образующим элементом g. Если G = Z(g) , то и вся группа G называется циклической.

Таким образом, циклическая подгруппа с образующим элементом g является наименьшей подгруппой G, содержащей элемент g.

Примеры

1. Группа Z целых чисел с операцией сложения является циклической группой с образующим элементом 1.

2. Группа поворотов плоскости на углы кратные 2p¤n является циклической с образующим элементом - поворотом на угол 2p¤n. Здесь n = 1, 2, .

Теорема о структуре циклических групп.

Всякая бесконечная циклическая группа изоморфна Z. Циклическая группа порядка n изоморфна Z / nZ .

Доказательство.

Пусть G = Z(g) - циклическая группа. По определению, отображение - сюръективно. По свойству степеней и потому j - гомоморфизм. По теореме о гомоморфизме . H = KerjÌZ. Если H - тривиальная подгруппа, то . Если H нетривиальна, то она содержит положительные числа. Пусть n - наименьшее положительное число входящее в H. Тогда nZÌH. Предположим, что в H есть и другие элементы то есть целые числа не делящееся на n нацело и k одно из них. Разделим k на n с остатком: k = qn +r , где 0 < r < n. Тогда r = k - qn Î H , что противоречит выбору n. Следовательно, nZ = H и теорема доказана.

Отметим, что » Z / nZ .

Замечание.

В процессе доказательства было установлено, что каждая подгруппа группы Z имеет вид nZ , где n = 0 ,1 , 2 , .

Определение.

Порядком элемента называется порядок соответствующей циклической подгруппы Z( g ) .

Таким образом, если порядок g бесконечен, то все степени - различные элементы группы G. Если же этот порядок равен n, то элементы различны и исчерпывают все элементы из Z( g ), а N кратно n . Из теоремы Лагранжа вытекает, что порядок элемента является делителем порядка группы. Отсюда следует, что для всякого элемента g конечной группы G порядка n имеет место равенство .

Следствие.

Если G - группа простого порядка p, то - циклическая группа.

В самом деле, пусть - любой элемент отличный от нейтрального. Тогда его порядок больше 1 и является делителем p, следовательно он равен p. Но в таком случае G = Z( g )».

Теорема о подгруппах конечной циклической группы.

Пусть G - циклическая группа порядка n и m - некоторый делитель n. Существует и притом только одна подгруппа HÌG порядка m. Эта подгруппа циклична.

Доказательство.

По предыдущей теореме G»Z / nZ. Естественный гомоморфизм устанавливает взаимно однозначное соответствие между подгруппами HÌG и теми подгруппами KÌZ , которые содержат Kerp = nZ . Но, как отмечалось выше, всякая подгруппа K группы Z имеет вид kZ Если kZÉnZ , то k - делитель n и p(k) - образующая циклической группы H порядка m = n /k. Отсюда и следует утверждение теоремы.

Верна и обратная теорема: если конечная группа G порядка n обладает тем свойством, что для всякого делителя m числа n существует и притом ровно одна подгруппа H порядка m, то G - циклическая группа.

Доказательство.

Будем говорить, что конечная группа G порядка N обладает свойством (Z), если для всякого делителя m числа N существует и притом только одна подгруппа HÌG порядка m. Нам надо доказать, что всякая группа, обладающая свойством (Z) циклическая. Установим прежде всего некоторые свойства таких групп.

Лемма.

Если G обладает свойством (Z), то

1. Любая подгруппа G нормальна.

2. Если x и y два элемента такой группы и их порядки взаимно просты, то xy = yx.

3. Если H подгруппа порядка m такой группы G порядка N и числа m и N/m взаимно просты, то H обладает свойством (Z).

Доказательство леммы.

1. Пусть HÌG . Для любого подгруппа имеет тот же порядок, что и H. По свойству (Z) то есть подгруппа H нормальна.

2. Пусть порядок x равен p, а порядок y равен q. По пункту 1) подгруппы Z(x) и Z(y) нормальны. Значит, Z(x)y = yZ(x) и xZ(y) = Z(y)x и потому для некоторых a и b . Следовательно, . Но, поскольку порядки подгрупп Z(x) и Z(y) взаимно просты, то . Следовательно, и потому xy = yx.

4. Используя свойство (Z) , выберем в G подгруппу K порядка N/m. По 1) эта подгруппа нормальна, а поскольку порядки H и K взаимно просты, эти подгруппы пересекаются лишь по нейтральному элементу. Кроме того по 2) элементы этих подгрупп перестановочны между собой. Всевозможные произведения hk =kh, где hÎH, kÎK попарно различны, так как =e поскольку это единственный общий элемент этих подгрупп. Количество таких произведений равно m N/m = и, следовательно, они исчерпывают все элементы G. Сюръективное отображение является гомоморфизмом с ядром K. Пусть теперь число s является делителем m. Выберем в G подгруппу S порядка s. Поскольку s и N/m взаимно просты, и потому - подгруппа порядка s. Если бы подгрупп порядка s в H было несколько, то поскольку все они были бы и подгруппами G условие (Z) для G было бы нарушено. Тем самым мы проверили выполнение условия (S) для подгруппы H.