Двумерное нормальное распределение

Если при исследовании появляется вопрос о связи между двумя переменными для одного и того же объекта (например, рост и интеллект) мы говорим о двумерных связях и результаты эксперимента находят свое отражение в двумерном распределении частот.

Уравнение поверхности называется двумерным нормальным распределением (гладкая непрерывная колоколообразная поверхность)

Характеристики нормального распределения

· Распределение значений x без учета значений y есть нормальное распределение;

· Распределение значений y без учета значений x, тоже нормальное распределение;

· Для каждого фиксированного значения x значение y дают нормальное распределение с дисперсией ;

· Для каждого фиксированного значения y значение x распределяется нормально с дисперсией ;

· Среднее значения y для каждого отдельного значения x ложатся на переменную.

Меры изменчивости

При решении вопроса о наличии взаимосвязи (корреляции) между двумя переменными, руководствуются несколькими коэффициентами. Связь, выраженная графически, называется диаграммной рассеивания, где x – оценка IQ, y – оценка теста по математике.

Положение каждого объекта на диаграмме распределения определяется парой значений xi, yi и выражаются по отношению к мере центральной тенденции величинами , . Если объект имеет высокие показатели по обеим переменным, то эти величины получаются большими и положительными, в противном случае, если xi, yi малы, то разность большой и отрицательной.

В дальнейшем будем говорить о произведении этих разностей и в том случае когда наблюдается прямая связь между этими переменными, произведение будет большим и положительным, следовательно такой же будет и сумма этих произведений .

В случае обратной связи, когда большим значениям yi соответствуют малые значения xi и наоборот, в этом случае произведение разностей будет большим и отрицательным и сумма разностей также будет большой и отрицательной.

Если между переменными не наблюдается какой-либо связи , количество положительных и отрицательных произведений примерно рано и сумма их близка к нулю. Таким образом большая положительная сумма – жесткая прямая зависимость; большая отрицательная сумма – сильная обратная зависимость; близость к нулю – отсутствие зависимости.

Недостатком этой меры является то, что ее величина зависит от числа пар переменных x участвующих в расчетах.

Чтобы избежать связь независимого состояния V групп, мы усредняем эти значения:

- ковариация

Частный случай, ковариация переменной с самой сабой – дисперсия

Чтобы избавить меру связи от отклонений двух групп значений:

- коэффициент кореляции Пирсона или произведение моментов.

Значение коэффициента Пирсона не может выйти за границы интервала (-1; 1).

Влияние линейного преобразования переменных на коэффициент кореляции

Вместо xi вводим в формулу bx+ a, где a, b – коэффициенты, для yi вводим в формулу dy+ c, где c, d – коэффициенты.

Вопрос о кореляции между переменными будучи решен положительно не означает наличия более общего вида связи (заработная плата учителям и количество поступивших в ВУЗы после окончания школы). Если мы проводим идентификацию групп с различным средним, наличие кореляции не исключено, но возможно другое объяснение взаимосвязи, чем вытекающее их эксперимента. Отсутствие связи при нулевом коэффициента Пирсона означает всего лишь отсутствие линейной связи.

Дисперсия суммы и разности переменных

Предсказание и оценивание

Переменная, которую мы хотим оценить называется зависимой переменной или откликом , обозначим ее через y.

Переменная которую мы используем для оценки называется независимой переменной или фактором, ее обозначим через x.

Конкретная характеристика (переменная x) имеющаяся в нашем распоряжении, позволяет получить до проведения эксперимента значение y, зависимой переменной. Мы получаем используя xi и коэффициенты b1 и b0.

Даже при наилучшем линейном предсказании, предсказание будет отличаться от реального yi на какую-то величину, которую мы назовем ошибкой оценки и обозначим ei:

Точность предсказания зависит от того, насколько удачно подобраны коэффициента b1 и b0. Критерием успешности подбора коэффициентов является минимальная величина суммы квадратов всех ошибок оценки – критерий наименьших квадратов

Другой критерий: . Этот критерий приводит к медианой линии регрессии. Из уравнения следует

Исходя из минимизации формулы наименьших квадратов найдем формулы:

;

Наше исследование получается наиболее результативным, если мы предполагаем, что фактор и отклик имеют двумерные нормальные распределения.

Свойства двумерного нормального распределения

1. Выборочные средние отклика (y) для каждого значения x лежат на прямой;

2. Для любого значения x, соответствующие значения y нормально распределены;

3. Для любого значения x, y – имеют одинаковую дисперсию .

При прогнозировании является ли среднее ошибок оценки подходящей мерой для прогнозирования.

Средняя ошибка оценки всегда равна нулю. Один из способов доказать этот факт, это выбрать в качестве меры прогнозирования дисперсию ошибки оценки.