- непрерывная.

Степень ф-ии с вещественным показателем.

Справка: .

Геометрический смысл производной.

Из второй задачи следует, что поизводная ф-ии в т. х0 =тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику ф-ии в этой точке.

Sl1 : Уравнение касательной к кривой. Его можно написать, зная точку, через которую она проходит, и угловой коэффициент

где x и y – координаты т. на касательной.

Sl2 : Уравнение нормали. Его можно написать, зная точку, через которую она проходит и угловой коэффициент

, x и y – точки на нормали.

Механический смысл производной.

************

Дифференцируемость ф-ии.

Df : Ф-ия дифференцируема в точке х0 , если приращение ф-ии в точке сможет быть представлено в виде:

, А – const.

Dh: Для дифференцирования ф-ии в т. х0 , необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала производная.

Доказательство: (необходимость)

(достаточность):

Производная суммы, произведения, частного.

Dh:Пусть ф-ия и дифференцируемы в точке х0 , тогда в этой точке дифференцируемы их сумма, произведение и частное, причем выполняются формулы:

1.

2.

3. , если

Лемма: Ф-ия, дифференцируема в точке х0 , непрерывнна в этой точке.

- дифф. в т. х0

обратное утверждение неверно!!!

Производная от const ф-ии =0.

Если

Доказательство:

Zm1: При вычислении производной, константу можно выносить за знак производной.

Zm2: Данные формулы можно рассматривать на большее число слагаемых и сомножителей.

Df: Линейным колебанем системы из т. ф-ий называется сумма призведения этих ф-ий на производную и постоянную.

Zm: Свойство линейности производной.

Из доказанных свойств, следует, что производная от линейных колебаний ф-й = линейные комбинации призводных.

Производная от обратной ф-ии.

Dh: Пусть в точке х0 имеет:

1.

2. на промежутке, содержащем х0 , обратную ф-ию

3.

тогда в точке х0 существует , равная