Критерий инъективности гомоморфизма групп

Гомоморфизм групп инъективен тогда и только тогда, когда Ker ={}.

Доказательство

Поскольку , и значит, если инъективно в ядре не может быть других элементов и таким образом Ker ={e}. Обратно, пусть ядро состоит только из нейтрального элемента и x и y - два таких элемента , что . Тогда и значит и потому равно . Отсюда получаем x=y и инъективно.

Следствие

Если Ker = {e}, то изоморфно отображает на подгруппу Im .

Теорема Кэли

Всякая конечная группа порядка n изоморфна подгруппе группы перестановок из n элементов.

Доказательство

Пусть G={}- группа порядка n. Составим для нее таблицу Кэли. В i-ой строке этой таблицы выписаны элементы , которые только порядком следования отличаются от первоначального набора элементов группы. Обозначим полученную перестановку . Определим отображение по формуле . Как нам известно, произведению элементов группы G отвечает композиция перестановок, то есть -гомоморфизм. Если, то, в частности, и значит. Таким образом, Ker тривиально и определяет изоморфизм между G и подгруппой Im в .

Теорема о гомоморфизме для групп

Пусть сюръективный гомоморфизм. Тогда факторгруппа изоморфна . Если эти изоморфные группы отождествить, то превращается в естественный гомоморфизм .

Доказательство

Обозначим H=ker . Следующим образом определим отображение

. Пусть С произвольный элемент то есть некоторый смежный класс группы по ее подгруппе H. Возьмем любой . Тогда не зависит от выбора элемента x. В самом деле, если любой другой элемент, то y=x*h, где и значит, . Положим: . Используя правило перемножения смежных классов, получаем: Ф((x*H)*(y*H)) =Ф((x*y)*H)= = Ф(x*H)Ф(y*H), то есть построенное отображение - гомоморфизм. Если любой элемент, то поскольку сюръективно, найдется такой , что . Но тогда Ф(x*H)=. Значит Ф - сюръективно. Если Ф(x*H)= , то ф(x)= , и потому x*H=H= . Это доказывает, что Ker Ф=е и значит Ф - инъективно и, следовательно, является изоморфизмом. Поскольку(x)= Ф(x*H), мы видим, что если считать изоморфизм Ф тождественным отображением ( то есть отождествить и G/H), отображение совпадет с естественным гомоморфизмом, переводящим x в x*H.

Следствие

Всякий гомоморфизм определяет изоморфизм между факторгруппой и подгруппой Im .

Примеры

1. Пусть ={1, -1} с операцией умножения. Определим гомоморфизм ), сопоставляя каждой четной перестановке число 1, а нечетной - число (-1). Тогда Ker - подгруппа четных перестановок. Очевидно, что при n>1 сюръективно. По теореме о гомоморфизме -нормальная подгруппа в и .