Коммутативные группы с конечным числом образующих.Рефераты >> Математика >> Коммутативные группы с конечным числом образующих.
Компоненты 
конечной коммутативной группы G определены однозначно. Точнее, пусть 
- разложение порядка n группы G в произведение простых чисел, 
. Тогда 
.
Доказательство.
Из разложения 
мы видим, что 
=0. Если же (p,q)=1, то q = . Поскольку при j
i 
делится на
, а 
=1, отсюда и следует утверждение теоремы.
Теорема единственности определения типа примарной группы.
Тип примарной группы определен однозначно. Точнее, если p-компонента группы G представлена в виде прямой суммы циклических подгрупп: =
, то 
.
Доказательство.
Пусть G=
- разложение G в сумму p-компоненты и остальных компонент. Таким образом, (ord(
),p)=1 и потому 
=. С другой стороны, 
=
при m>k (равно 0 в противном случае). Поэтому
ord(
)=
. Обозначая ord()=N, получаем:
ord(G)=N. Отсюда: ord(
G)/ ord(G)= 
откуда и следует утверждение теоремы.
Замечание.
Обращаем внимание на существенное отличие в формулировке свойства единственности в двух последних теоремах. В первой из них утверждается единственность каждой из подгрупп , тогда как во второй подгруппы, составляющие прямые слагаемые, определены, вообще говоря, неоднозначно, но их количество и порядок каждой из них находятся уже единственным образом.
Количество неизоморфных конечных абелевых групп данного порядка.
Обозначим через ab(n) количество попарно неизоморфных абелевых групп порядка n. Ввиду единственности разложения такой группы в сумму примарных компонент, разложению в произведение простых отвечает равенство ab(n)=ab(
)ab(
) .ab(
). Если p- любое простое число, и G-
группа порядка 
и типа (1,1, .1,2,2, k) то m=1+1+ .+1+2+2+ .+ .+k. Каждому представлению числа m в виде суммы положительных целых слагаемых (причем порядок слагаемых не играет роли) отвечает определенный тип абелевой группы порядка . Такое представление числа m называется его разбиением и обозначается 
. Таким образом, поскольку тип группы определяется однозначно, ab()=.
Примеры.
Составим прежде всего следующую табличку разбиений:
|
m |
разбиения |
|
|
1 |
1 |
1 |
|
2 |
2;1+1 |
2 |
|
3 |
3;2+1;1+1+1 |
3 |
|
4 |
4;3+1;2+2;2+1+1;1+1+1+1 |
5 |
|
5 |
5;4+1;3+2;3+1+1;2+2+1;2+1+1+1;1+1+1+1+1 |
7 |
|
6 |
6;5+1;4+2;4+1+1;3+3;3+2+1;3+1+1+1;2+2+2;2+2+1+1;2+1+1+1+1;1+1+1+1+1+1 |
11 |
1. ab(16)= 
=5. Соответствующие абелевы группы порядка 16 следующие: 
, 
, 
, 
,
. Первые канонические разложения для них имеют вид: 
, 
, 
, 
, 
.
2. ab(72)=ab(8)*ab(9)= 
=6. Соответствующие группы суть: 
, 
, 
, 
, 
, 
. Первые канонические разложения для них имеют вид: 
, 
, 
, 
, 
, 
.
