Метод касательных.

Метод касательных (или метод Ньютона) состоит в следующем. Пусть на отрезке [a,b] находится единственный корень ξуравнения (12.1). Проведем касательную к кривой y=f(x) в точке A (a, f(a)) до пересечения с осью Ox (рис.12.4): её уравнение имеет вид y f(a)=f’(a) (x-a). Полагая в этом уравнении y=0, находим абсциссу x1 точки пересечения касательной с осью Ox: в предположении, что f’(a)≠ 0.Абсциссу x1 точки пересечения касательной с осью Ox можно взять в качестве x1-первого приближения корня. Проведя касательную через соответствующую точку A1(x1, f(x1)) и найдя точку её пересечения с осью Ox, получим x2 –второе приближение корня. Аналогично определяются последующие приближения корня. В методе касательных n-ое приближение вычисляется по формуле

причем за начальное приближение принимается такое значение х0 из отрезка [a,b] для которого выполняется условие Фурье

f(x0 )f ‘’(x)>0 (12.4)

Если функция f(x) имеет отличную от нуля производную f ‘(x) на отрезке [a,b], то оценка абсолютной погрешности вычислений определяется формулой

(12.5)

Пример 1. Методом касательных найти действительный корень уравнения х3+х-3=0.

Решение. Записав данное уравнение в виде х3=-х+3 и построив графики функций f1(x)=x3,

f2(x) =-x+3,найдем, что единственный корень уравнения принадлежит отрезку [1,2]. Укажем

отрезок меньшей длины, на котором находится корень. Так как f(x)=x3+x-3, f(1,2)=(1,2)3+1,2-3=-0,072<0, f(1,3)=(1,3)3+1,3-3=0,497>0, то корень лежит на отрезке [1,2;1,2]. Серединой этого отрезка является точка x=1,25. Поскольку f(1,25)=(1,25)3+1,25-3=0,203125>0 и f(1,2)<0, то искомый корень принадлежит отрезку [1,20;1,25]. Данная функция f(x)=x3+x-3 имеет производные f ‘(x) =3x2+1, f “(x)=6x, принимающие положительные значения на отрезке [1,20;1,25]. В качестве начального приближения возьмем x=1,25, так как для этой точки выполняется условие (12.4).

Результаты вычислений, выполненных по формуле (12.3) записываем в таблице 12.1, из которой видно, что искомый корень x=1,21341.

Возьмем некоторую точку x0-отрезка [a, b] и проведем в точке Р0[x0;f(x0)] - графика функции касательной кривой до пересечения можно взять в качестве приближенного значения корня. Проведя касательную через новую точку Р1[x1;f(x0)] и найдя точки пересечения с осью абсцисс, получим второе приближение корня х2 и т.д. Затем выводим формулу для последовательных приближений к корню. Уравнение касательной, проходящей через точку Р0, имеет вид : y=f(x)+f(x0)*(x-x0). Полагая, что y=0 найдем абсциссу х1 – точки пересечения касательной с осью абсцисс х1=x0…………. .0

Процесс вычисления можно прекратить, если |xn-xn-1|<=E.

Метод половинного деления.

Уравнение y=f(x), где функция f(x) – непрерывна на отрезке [a, b] и f(a)*f(b)<0. Для нахождения корней уравнения делим отрезок [a, b] пополам, и находим х0=a+b/2. Если при этом f(x)=0, то x0 – является корнем уравнения. Если f(x) неравно 0, то выбираем тот из отрезков [a, b] или [b, x0] имеющие противоположные знаки. Выбранный отрезок снова делим пополам, до тех пор, пока длина отрезка на концах которого 0, не будет меньше заданной точности Е.