,

где

Из определения видно, что при всех x.

Тогда, на основании предыдущего замечания,

это и есть иначе записанное неравенство Коши.

Далее из неравенства (3) выведем еще одно неравенство

(4)

(ai и bi – любые вещественные числа), которое тоже называют неравенством Коши.

Для доказательства неравенства (4) извлечем квадратные корни из обеих частей неравенства (3), затем удвоив обе части полученного нового неравенства и прибавим к ним выражение . В результате получим

Это неравенство можно переписать и так:

Извлекая, квадратные корни из обеих частей последнего неравенства, получим (4).

Теперь уже легко доказать неравенство треугольника (2). Пусть

Полагая в неравенстве (4)

мы получим неравенство (2).

Теперь приведем некоторые примеры метрических пространств.

Пусть множество l состоит из всех бесконечных числовых последовательностей удовлетворяющих условию

Таким образом, l – метрическое пространство

Обозначим через l2 множества всех таких последовательностей вещественных чисел, для которых , и положим

.

Прежде всего нужно проверить, что конечно (т. е. что ря в правой части сходится) для любых x и y из l2. А для этого сначала покажем, что неравенство Коши (4) справедливо и для бесконечных последовательностей чисел ai и bi (i=1, 2, …). Действительно, беря произвольное натуральное n, запишем неравенство (4), а затем перейдем в нем к пределу при . Получим неравенство

, (5)

которое мы будем называть неравенством Коши для бесконечных последовательностей. Аналогичным образом из неравенства (3) выводится и другое неравенство Коши для бесконечных последовательностей:

. (6)

Из неравенства (5), в частности, следует, что если и , то и последовательность , т.е. .

Теперь проверка выполнения в l2 аксиом метрического пространства может быть произведена совершенно так же, как это сделано для Rn.

Пространство l2 иногда называют бесконечномерным евклидовым пространством.

п.2 Неравенство треугольника. Если x и y –произвольные векторы, то по аналогии с элементарной геометрии вектор x+y естественно называть третьей стороной треугольника, построенного на векторах x и y. Используя неравенство Коши–Буняковского, мы получаем

или

(7)

(8)

Неравенства (7)–(8) называются неравенствами треугольника. Геометрически они означают, что длина любой стороны всякого треугольника не больше, чем сумма длин двух других сторон, и не меньше, чем абсолютная величина разности длин этих сторон.

Комплексные пространства со скалярным произведением

Скалярное произведение (Основные метрические понятия)

п.3 Неравенство Коши–Буняковского. Для любых двух векторов x, y из C имеет место неравенство

, (9)

Доказательство проводится по той же схеме, что и в вещественном случае (п.1), но с некоторой осторожностью обращения с комплексными числами. Если (x, y)=0, неравенство (9) очевидно. При (x, y)¹0 замечаем, что

при любом комплексном . Раскрываем скобки, находим

. (10)

Будем считать, что изменяется по прямой , симметричной относительно вещественной оси с прямой, определяемой комплексным числом (x, y), так что , где t вещественно, а zo–единичный вектор, определяющий направление прямой , . Тогда есть вещественное число, так что . Неравенство (10) преобразуется к виду

. (11)

Теперь та же аргументация, что и в (п.1), приводит нас к искомому неравенству (9).

Если в неравенстве(9) стоит знак равенства, то трехчлен в левой части (11) имеем один вещественный корень to. Заменяя tzo на , мы получаем, что трехчлен в левой части (10) имеет корень , откуда

и , так что векторы x и y отличаются лишь (комплексным) множителем.

п.4 Неравенство треугольника. Если x и y – два вектора в унитарном пространстве C, то по неравенству Коши–Буняковского (п.3)

откуда

(12)

Неравенства (12), как и в вещественном случае, называют неравенствами треугольника.