p(x) = f(x)q(x) + r(x);

остаток r(x) – это многочлен степени не выше третьей. Так как p(a) = f(a) = 0, то и r(a) = 0. Предположим на время, что r(x) ¹ 0. По школьной теореме Безу многочлены f(x), r(x) имеют общий делитель x - a; пусть d(x) – их наибольший общий делитель. Очевидно, d(x) имеет степень не ниже первой и не выше третьей и делит многочлен f(x), а это противоречит неразложимости на множители. Полученное противоречие означает, что r(x)=0, т.е.

p(x) = f(x)q(x).

Положив здесь x = a2, получаем требуемое равенство p(a2) = 0 (а вместе с ним и два других равенства p(a3) = p(a4) = 0). Точно так же из h(a)¹ 0 следует h(a2)¹ 0 и т.д. Итак,

Gal(f) = {e, a, b, c}.

Как видите, группа Галуа найдена, и значения корней при этом не понадобились!

В заключение несколько слов об общем уравнении

a0xn + a1xn – 1 + … + an = 0,

где a0, a1, …, an - буквенные коэффициенты. Можно показать (опять-таки не пользуясь значениями корней), что группой Галуа этого уравнения будет группа всех перестановок Sn. обладает ли она полициклической матрешкой подгрупп? Если п£4, то да. Если же п³5, то группа Sn не имеет полициклических матрёшек, - это уже довольно трудная теорема, также доказанная Эваристом Галуа. Следовательно, общее уравнение степени п³5 неразрешимо в радикалах.

Заканчивая этот краткий очерк идей Галуа, скажем, что шестьдесят страниц, написанных Эваристом Галуа накануне роковой дуэли явилось одним из истоков современной теории групп – основного и наиболее развитого раздела алгебры, изучающего в общем виде глубокую закономерность реального мира – симметрию.

Преобразование j поля К называется его автоморфизмом, если оно сумму переводит в сумму, а произведение в произведение, т.е.

(а + в) j = аj + вj, (АВ) j = аjвj

для любых а,в из К; здесь аj обозначает образ элемента а и т.д.

Поле – это множество К с двумя двуместными операциями, называемыми сложением и умножением, причем отностительно сложения оно является коммутативной группой, относительно умножения его элементы, отличные от нулевого, тоже составляют коммутативную группу и, наконец, в К выполняется обычное правило для раскрытия скобок (а + в)с=ас + вс для любых а, в, с из К.

Рассмотрим последовательность вложенных друг в друга подгрупп; всякая такая последовательность

М: G=H0 ³ H1 ³ … ³Hm=E,

содержащая G и E, называется матрёшкой подгрупп группы G. Допустим теперь, что в каждом члене Hi данной матрёшки М выделено по элементу аi, причем для каждого элемента х из Нi + 1 «сопряженный элемент» а­i –1 xai снова лежит в Нi + 1 и каждый элемент у из Hi записывается в виде произведения некоторой степени аim на некоторый элемент из Нi + 1; тогда матрешка М называется полициклической.

Группой называется любое множество G, на котором задана двуместная алгебраическая операция, т.е. правило, сопоставляющее каждым двум элементам из G определенный третий элемент из G, причем выполняются следующие аксиомы:

а) операция ассоциативна, т.е. (аb)c=a(bc)

б) G содержит единичный элемент

в) для всякого а из G существует обратный элемент.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ:

1. В. Чеботарев, «Основы теории Галуа» Москва, 1934.

2. А. Дальма, « Эварист Галуа. Революционер и математик» Москва, 1984.

3. Ван дер Варден, «Алгебра»

4. И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, «Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов» Москва, 1986.