Новая особенность состоит в том, что частота wk есть непрерывная функция индекса k, соответствующая длинам волн осцилляторов поля. Такова специфическая особенность больших систем Пуанкаре, т. е. хаотических систем, у которых нет регулярных траекторий, сосуществующих со стохастическими траекториями. БольшиесистемыПуанкаре (БСП) соответствуют важным физическим ситуациям, в действительности — большинству ситуаций, с которыми мы сталкиваемся в природе. Но БСП позволяют также исключить расходимости Пуанкаре, т. е. устранить основное препятствие на пути к интегрированию уравнений движения. Этот результат, заметно приумножающий мощь динамического описания, разрушает отождествление ньютоновской или гамильтоновой механики и обратимого во времени детерминизма, поскольку уравнения для БСП в общем случае приводят к принципиально вероятностной эволюции с нарушенной симметрией во времени.

Обратимся теперь к квантовой механике. Между проблемами, с которыми мы сталкиваемся в классической и квантовой теории, существует аналогия, поскольку предложенная Пуанкаре классификация систем, на интегрируемые и неинтегрируемые остается в силе и для квантовых систем.

5.Решение парадокса времени

5.1.Законы хаоса

Трудно говорить о «законах хаоса», пока мы рассматриваем отдельные траектории. Мы имеем дело с негативными аспектами хаоса, такими как экспоненциальное разбегание траекторий и не вычислимость. Ситуация резко меняется, когда мы переходим к вероятностному описанию. Описание в терминах вероятностей остается в силе при любых временах. Поэтому и законы динамики надлежит формулировать на вероятностном уровне. Но этого не достаточно. Чтобы включить в описание нарушение симметрии во времени, мы должны выйти из обычного гильбертова пространства. В рассмотренных ними здесь простых примерах необратимые процессы определялись только временем Ляпунова, но все приведенные соображения могут быть обобщены и на более сложные отображения, описывающие необратимы! процессы другого типа, например, диффузию [2].

Полученное нами вероятностное описание несводимо: это неизбежное следствие того, что собственные функции принадлежат к классу обобщенных функций. Как уже упоминалось, этот факт можно использовать в качестве отправного пункта нового, более общего определения хаоса. В классической динамике хаос определяется "экспоненциаль­ным разбеганием"[1] траекторий, но такое определение хаоса не допускает обобщения на квантовую теорию. В квантовой теории нет "экспоненциального разбегания" волновых функций и, следовательно, не существует чувствительности к началь­ным условиям в обычном смысле. Тем не менее, существуют квантовые системы, характеризующи­еся несводимыми вероятностными описаниями. Помимо прочего такие системы имеют принципиальное значение для нашего описания при­роды. Как и прежде, фундаментальные законы физики применительно к таким системам формулируются в виде вероятностных утверждений (а не в терминах волновых функций). Можно сказать, что такие системы не позволяют отличить чистое состояние от смешанных состояний. Даже если мы выберем в качестве исходного, чистое состояние, оно со временем превратится в смешанное состояние.

Исследование описанных в этой главе отображений представляет большой интерес. Эти простые примеры позволяют наглядно предста­вить, что мы имеем в виду, говоря о третьей, несводимой, формулировке законов природы. Тем не менее, отображения — не более чем абстракт­ные геометрические модели. Теперь же мы обратимся к динамическим системам на основе гамильтонова описания — фундамента современ­ной концепции законов природы.

5.2.Квантовый хаос

Квантовый хаос отождествляется с существованием несводимого вероятностного представления. В случае с БСП в основе такого представления лежат резонансы Пуанкаре.

Следовательно, квантовый хаос связан с разрушением инварианта движения вследствие резонансов Пуанкаре. Это свидетельствует о том, что в случае БСП невозможно переходить от амплитуд |φi+> к вероятностям |φi+> <φi+|. Фундаментальное уравнение в данном случае записывается в терминах вероятности. Даже если начать с чистого состояния ρ=|ψ> <ψ|, оно разрушится в ходе движения системы к равновесию.

Разрушение состояния может быть связано с разрушением волновой функции. В данном случае эволюция "коллапса" настолько важна, что имеет смысл проследить ее на примере[1, 178].

Пусть существует волновая функция ψ(0) в некоторый начальный момент времени t=0. Уравнение Шредингера преобразует ее в ψ(t)=

e-itHψ(0). Всякий раз, когда приходится иметь дело с несводимыми представлениями, выражение ρ=ψψ[3] должно утрачивать смысл, иначе было бы возможно переходить от ρ к ψ и наоборот.

Именно это и происходит с неисчезающими взаимодействиями в потенциальном рассеянии.

На рис.1 отражены графики зависимости sin(ώt)/ώ от ώ

рис.1 Схематический график величины sin(ώt)/ώ

Имея волновую функцию можно вычислить матрицу плотности

.

Это выражение плохо определено, но в сочетании с пробными функциями оба плохо определенных выражения имеют смысл:

Рассмотрим диагональные элементы матрицы плотности:

График этой функции приведен на рис.2

рис. 2 схематический график величины

В сочетании с пробной функцией f(ω) требуется вычислить

И наоборот, амплитуда волны в сочетании с пробной функцией остается постоянной во времени, т.к.

.

Причина столь различного поведения функций становится ясной если сравнить графики функций приведенных на рис.1 и 2: функция sinωt/ω принимает как положительные, так и отрицательные значения, тогда как функция принимает только положительные значения и дает "более больший вклад в интеграл"[1, 180].

Полученные заключения могут быть подтверждены моделированием вероятности Р как функции от k при возрастающих значениях t. Графики приведены на рис.5[5, 241].

Теперь можно отметить, что коллапс распространяется в пространстве причинно, в соответствии с общими требованиями теории относительности, исключающими эффекты распространяющиеся мгновенно[1, 181].