А.Н.Колмогоров в своей статье "Современные споры о природе математики" ("Научное слово", 1929, №6) и Г.Вейль в книге "О философии математики" (М.-Л., 1934) прямо указывают на то, что именно такая привычка обращаться с математическими объектами является источником серьезных затруднений в обосновании и построении математических теорий. Совсем не случайно поэтому появление интуиционистской точки зрения на проблему существования.

Интуиционизм возник как реакция на теоретико-множественную (классическую) концепцию математики.

При наивном понимании проблемы существования в математике, при котором это понятие считается не нуждающимся в каком бы то ни было анализе, интуиционизм избрал главным объектом критики в классической математике понятие актуальной бесконечности и закон исключенного третьего. Отвергая понятие актуальной бесконечности, интуиционизм заменяет понятием потенциальной бесконечности. Что же касается закона исключенного третьего, согласно которому утверждение А и его отрицание не могут быть одновременно истинными и ложными, то интуиционизм считает, что утверждение АÚ может считаться доказанным лишь тогда, когда указан метод, позволяющий выяснить, какое именно из двух суждений А или истинно.

Немецкий математик Л.Кронекер, а также представители парижской школы теории функций Э.Борель и А.Лебег признавали математические объекты существующими независимо от нашего мышления. Но они считали, что об их существовании мы можем судить лишь с помощью построения, благодаря чему они только и становятся познаваемыми для нас. А.Гейтинг называет такую концепцию "полуинтуиционистской" [5; 10]. Собственно же интуиционистская концепция по вопросу о существовании отказывает математическим объектам в каком бы то ни было независимом от мышления существовании и считает, что об их существовании можно утвердительно говорить лишь в том случае, когда они могут быть тем или иным способом построены.

Классическая математика не принимает во внимание очевидное различие между двумя следующими определениями натуральных чисел - числа К и числа Е.

"I. К есть наибольшее простое число, такое, что К-1 также простое. Если такого числа нет, то К=1.

II. Е есть наибольшее простое число, такое, что Е-2 также простое. Если такого числа нет, то Е=1." [16; 84]

Для интуиционизма же это различие весьма существенно. Если число К может быть вычислено (К=3), то число Е не вычисляется, так как проблема "близнецов" не разрешена. Поэтому интуиционисты считаю неправильным давать определение натурального числа в форме II и считают, что число определено только тогда, когда дан способ его вычисления. Или в более общей форме: "Существовать" должно означать то же самое, что "быть построенным" [6; 11].

На основе критики классической математики и в то же время как реакция на субъективистскую концепцию интуиционизма возникло также конструктивное направление. Об абстрактных объектах в конструктивной математике рассуждают на основе абстракции потенциальной осуществимости. В соответствии с этой абстракцией в конструктивной математике изучаются не только объекты, уже имеющиеся в наличии, но и возможные (потенциально осуществляемые) объекты. Абстракция актуальной бесконечности как объект математической теории отклоняется в конструктивном направлении.

В конструктивной математике отрицают так называемые «чистые» теоремы существования. Например, в конструктивной теории множеств нет теоремы существования неизмеримого по Лебегу множества. В ней существование бесконечного множества с данными свойствами является однозначным в том случае, если дан способ потенциально осуществимого построения объекта с этими свойствами.

В становлении и развитии конструктивного направления в математике важную роль сыграли работы А. А. Маркова, Н. А. Шанина, П. С. Новикова. Известный советский ученый Н. А. Шанин в работе «О критике классической математики» [20; 284-298] дает конструктивистскую критику классической математики и акцентирует внимание исследователей на том, что многие теоремы классической математики не обладают удовлетворительной связью между ними и эмпирическим материалом в области естествознания.

Предшественником интуиционистской концепции существования в некотором смысле можно считать А.Пуанкаре. Рассматривая вопрос о существовании натурального ряда чисел, А.Пуанкаре высказывал взгляды, близкие к интуиционистским. Например, он считал, что о существовании чисел можно судить лишь с помощью их построения. Но для математических объектов, отличных от натуральных чисел, А.Пуанкаре считал доказательство непротиворечивости доказательством их существования. "В математике существовать может иметь только один смысл, - оно означает устранение от противоречия" [18; 124].

Представление о самостоятельном существовании математических объектов подвергалось критике не только интуиционизмом. Субъективный идеалист Дж.Беркли, чья философия сжато сформулирована в знаменитом афоризме "существовать - значит быть воспринимаемы", рьяно выступал против представления о самостоятельном существовании математических объектов. В своем памфлете "Аналитик, или Рассуждение, адресованное неверующему математику…" Дж.Беркли отрицал существование бесконечно малых величин на том основании, что они чувственно не воспринимаемы. [1; 395]

Б.Рассел начал свою философскую деятельность с идеализма типа Дж.Беркли, но затем изменил свою концепцию под влиянием Д.Мура, который подверг критике философию Дж.Беркли и сформулировал принцип нетождественности объекта восприятию. В своем труде «Принципы математики» Б.Рассел переходит на позиции реализма и высказывает мысль, что нельзя обосновать математику, не признавая математические объекты, существующими независимо от сознания. [16; 87]

Абстрактные объекты не существуют в качестве самостоятельного объекта, стоящего между субъектом и реальным объектом, ибо они являются лишь формами выражения действительности. Сама же действительность выступает не как совокупность единичных фактов, созерцая которые, субъект выделяет то общее, что есть в них, а как сложная, расчлененная внутри себя целостность. Неверно превращать математические средства выражения предмета математики в сам предмет. Абстрактные объекты являются не объектами познания, а тем, что должно быть в голове человека, чтобы можно было в реальной действительности увидеть те или иные аспекты количественных отношений.

Представления, что математика имеет дело с реальной действительностью только через посредство абстрактных объектов, которые понимаются как существующие лишь во внутреннем мире субъекта, замыкает математика в рамки уже идеализированных фрагментов действительности и не может объяснить факта увеличения математического знания. Математическое познание имеет дело не с абстрактными объектами, а с пространственными формами и количественными отношениями действительности. Манипулирование абстрактными объектами в отрыве от объективной реальности не может привести к новым результатам. Абстрактные объекты сами по себе – застывший продукт познания и только обращение к новым аспектам действительности приводит к обогащению математического знания. Все это прекрасно понимал и выразил еще Р.Декарт. В «Правилах для руководства ума» он писал, что «мысля о числе, не нужно делать вывод, будто измеряемая вещь считается исключенной из нашего представления, как это делают те, кто приписывает числам чудесные свойства…». [7; 149]