Кроме указанных экспериментов для последующей оценки линейности уравнения регрессии был 4 раза определен выход на нулевом уровне. Значения уо составили: 10,65; 10,82; 10,95 и 10,72, откуда среднее значение выхода уо = 10,78

Рассчитываем коэффициент регрессии:

Таблица 3.

Уравнение регрессии тогда примет вид:

У = 11,01 + 3,18х1 + 2,02х2 – 0,18х3 – 0,05x12 – 0.04x13 – 0.057x23 – 0.075x123

(1.6)

Это уравнение может являться математической моделью процесса, однако, прежде необходимо определить значимость входящих в него коэффициентов регрессии.

С этой целью необходимо найти выборочную дисперсию. Для этого вычисляются:

1) построчная дисперсия

∑(yN – yNk)2

S2(yNk) =

k – 1

S12(yNk) = 0.0043

S22(yNk) = 0.0072

S32(yNk) = 0.01

S42(yNk) = 0.0016

S52(yNk) = 0.0046

S62(yNk) = 0.0109

S72(yNk) = 0.0092

S82(yNk) = 0.0156

2) дисперсия воспроизводимости:

∑ S2 ( yNk)

S2(y) = = 0,0634 / 8 = 0,0079

Nb

(1.8)

3) дисперсия среднего значения:

∑ S2 ( yNk)

S2(y) = = 0.0079 / 3 = 0,0026

kn (1.9)

4) дисперсия коэффициентов регрессии:

∑ S2 ( yNk)

S2(y) = = 0,0026 / 8 = 0,0003

Nb

(1.10)

по которой находится ошибка коэффициентов регрессии:

S (bi) = √S2 (bi) = 0.017

Для оценки значимости коэффициентов регрессии составим неравенство:

Bi > S (bi) tp (f)

(1.11)

где S (bi) – ошибка коэффициента регрессии, а

tp (f) – коэффициент Стьюдента, находимый по таблицам для требуемой достоверности и числа степеней свободы f, с которыми были определены коэффициенты регрессии. Для рассматриваемой задачи f = 8 * 2 = 16 и t95(16) = 2,12. Тогда S(bi)t95(16) = 0.017*1.12 = 0.36, f = Nb * (kn – 1)

Отсюда :

b0 = 11,01 > 0,36 – значимый коэффициент регрессии

b1 = 3,18 > 0,36 – значимый коэффициент регрессии

b2 = 2,02 > 0,36 – значимый коэффициент регрессии

b3 = 0,18 < 0,36 – незначимый коэффициент регрессии.

Рассматриваемый коэффициент регрессии b3 может быть незначимым по многим причинам, в частности:

- выбрана слишком маленькая единица варьирования для данного фактора, а ошибка метода велика;

- нулевой уровень по данному фактору лежит уже в оптимуме и, следовательно, изменение данного фактора на величину может не вызывать изменения выхода;

- и, наконец, данный фактора действительно не оказывает никакого влияния на процесс, так как не имеет к нему отношения.

В рассматриваемом случае нулевой уровень по третьему фактору лежит в оптимуме, а потому он и не вызывает изменения выхода.

Кроме этого, знак минус при третьем факторе свидетельствует о том, что с увеличением показателя преломления уменьшается выход. Это происходит по всей видимости потому, что поглощающая способность капли увеличивается до определенной величины, затем отражающая способность его становится доминирующей, то есть капля выполняет роль своеобразного зеркала на пути светового потока лазера.

Коэффициенты Х1; Х2; Х23; Х123 незначимы для Р = 95%, а потому уравнение регрессии (1.5) после отбрасывания незначимых членов будет иметь вид:

ŷ = 11,01 + 3,15х1 + 2,02х2 – 0,18х3

(1.12)

проанализируем уравнение регрессии (1.12) с точки зрения проверки правильности выбранной гипотезы, что система линейна, иными словами необходимо установить, может ли выход процесса быть описан уравнением без членов высших порядков и, возможно, без членов, учитывающих парные взаимодействия.

Оценим значимость коэффициентов регрессии при членах высших порядков.

Для этого был проведен эксперимент в нулевой точке с числом повторностей Z = 4.

Вычисленное среднее значение Уо является чистой оценкой для УоZ,

ii ii

а разность (Уо – bo) = [β – (βo + ∑ βii)] = ∑ βii оценкой для суммы коэффициентов регрессии при членах высших порядков. Если она незначима, то принятое предположение о возможности описания процесса уравнением без квадратичных и более членов правильно.

Для оценки значимости, зная bo и S2 (bo) = S2 (bi), можно воспользоваться формулой (1.13):

_ S2 √ (Nb + Z)

[Уо - bo] >

Nb * Z * tp (f)

(1.13)

где _ (Nb – 1) S2(bi) + (Z – 1) S2 (Уо)

S2 =

Nb + Z – 2

среднее взвешенное из двух дисперсий. Здесь в добавление к ранее принятым обозначениям tp (f) –значение коэффициента Стьюдента, находимое по таблице, для выбранного уровня доверительной вероятности и числа степеней свободы.

Для рассматриваемой задачи:

(Уо – bо) = │10,78 – 11,01│= 0,23

Расчет S2 (Уо) ведется по формуле:

_

S2 (Уо) = ∑│Уо - УоZ│/ Z (Z – 1) = 0,425

(1.14)

где Z – число повторностей в определении У.

Тогда S2 = 0,23 < 0,46

Различие между Уо и bо статически незначимо, следовательно, гипотеза о возможности использования уравнения без квадратичных членов верна.

Теперь для упрощения математической модели, проверим возможность описания процесса линейным уравнением, то есть уравнением без парных членов. Для этого оставим дополнительную матрицу планирования по следующей схеме (Табл. 4).

Из этой матрицы вычислим дисперсию неадекватности данной модели (без парных взаимодействий):

∑(УN –УN)2

S2ag = —————— = 21,61 / 7 = 3,08