1.4.2. Сложение и вычитание чисел

Сложение и вычитание чисел в обратном и дополнительном кодах выполняется с использованием обычного правила арифметического сложения многоразрядных чисел. Общей для этих кодов особенностью (и очень удобной особенностью) является лишь то, что при поразрядном сложении чисел разряды, изображающие знаки чисел рассматриваются как равноправные разряды двоичного числа, которые складываются друг с другом и с единицей переноса из предыдущего разряда числа по обычным правилам арифметики. Различия же обратного и дополнительного кодов связаны с тем, что делается с единицей переноса из старшего разряда (изображающего, как неоднократно говорилось, знак числа).

При сложении чисел в дополнительном коде единица переноса из старшего разряда игнорируется (теряется), а в обратном коде эту единицу надо прибавить к младшему разряду результата.

Пример 1. Сложить числа +12 и -5.

а) В обратном коде

Десятичная форма -> +12 -5

Двоичная форма -> +1100 -101

Прямой код -> 00001100 10000101

Обратный код -> 00001100 11111010

Выполним сложение в столбик:

0 0 0 0 1 1 0 0

1 1 1 1 1 0 1 0

===============

(1) 0 0 0 0 0 1 1 0

+ 1 (Добавление 1 переноса)

==============

0 0 0 0 0 1 1 1

Итак, результат в обратном коде = 00000111.

Поскольку знаковый разряд равен 0, результат положительный, и, следовательно, запись кода числа совпадает с записью прямого кода. Теперь можно восстановить алгебраическую запись результата. Он равен +111 (незначащие нули отброшены), или в десятичной форме +7.

Проверка (+12-5=+7) показывает, что результат верный.

а) В дополнительном коде

Десятичная форма -> +12 -5

Двоичная форма -> +1100 -101

Прямой код -> 00001100 10000101

Обратный код -> 00001100 11111010

+1

Дополнительный код -> 00001100 11111011

Выполним сложение в столбик:

0 0 0 0 1 1 0 0

1 1 1 1 1 0 1 1

============

(1) 0 0 0 0 0 1 1 1

(Перенос игнорируется)

Итак, результат в дополнительном коде = 00000111.

Поскольку знаковый разряд равен 0, результат положительный, и, следовательно, запись кода числа совпадает с записью прямого кода. Теперь можно восстановить алгебраическую запись результата. Он равен +111 (незначащие нули отброшены), или в десятичной форме +7.

Проверка (+12-5=+7) показывает, что результат верный.

Умножение и деление двоичных чисел производится в ЭВМ в прямом коде, а знаки их используются лишь для определения знака результата. Также как и в математике, умножение сводится к операциям сложения и сдвига. Деление выполняется за счет комбинирования сдвигов, вычитаний (в этот момент могут использоваться обратный или дополнительный коды) и сложений.

1.5. Кодирование чисел в ЭВМ

В ЭВМ применяется чаще всего одна из двух форм представления чисел:

· с фиксированной запятой;

· с плавающей запятой.

Числа представляются в машинном слове, имеющем для конкретной ЭВМ всегда фиксированное число разрядов (битов). Это число является одной из важнейших характеристик любой ЭВМ и называется разрядностью машины. Разные разряды слова при кодировании команд и данных имеют несовпадающие функциональные назначения. При рассмотрении их функций используют также термин “разрядная сетка машины”.

1.5.1. Числа с фиксированной запятой

В числах с фиксированной запятой положение запятой в разрядной сетке машины заранее обусловлено для всех чисел раз и навсегда. Поэтому в коде числа запятая никак не обозначается. В большинстве машин место запятой подразумевается после последней цифры (справа от нее). А такие числа - целые. При необходимости представлять дробные числа с использованием формы с фиксированной запятой программист должен алгоритмическими средствами обеспечить использование множителя, выполняющего функцию масштабирования (масштабного множителя).

Определим диапазон представимых чисел.

Вначале рассмотрим пример, в котором положим, что мы имеем дело с десятичной (а не двоичной) системой счисления, и что для записи абсолютной величины числа (без учета его знака) в нашем распоряжении имеется шесть разрядов.

Тогда максимальное (по абсолютной величине) целое будет равно 999999 или иначе 10**6-1. А поскольку в разрядной сетке машины для записи знака числа всегда предусматривается один разряд, то для нашего случая диапазон представимых чисел составит все целые числа, начиная от

-999999 до +999999, а количество различных целых - 2*10**6-1.

В двоичных ЭВМ их разрядность определяется числом разрядов в слове. Так, если разрядность некоторой ЭВМ равна 16, то один разряд отводится для кодирования знака числа, а остальные 15 - для записи его величины. При этом максимальное по модулю целое значение в машинном слове будет равно 2**15-1, что составит 32767. (Посмотрите диапазон целых (integer) чисел в языке программирования Паскаль для ПЭВМ типа IMB PC).

В общем случае, если разрядность машины составляет N битов. Тогда максимальное по абсолютной величине целое число, которое можно в ней записать, будет равно 2**(N-1)-1.

Особенности арифметических операций над числами

Поскольку (если положение запятой фиксировано после последней цифры числа) числа с фиксированной запятой - целые, они представляются в машине точно. А потому операции сложения, вычитания и умножения корректны всегда: как операнды, так и результат - целые числа.

Единственной особенностью, о которой необходимо упомянуть, является ситуация, которая носит название “переполнение разрядной сетки” (FixedOverflow - переполнение с фиксированной запятой) и которая возникает, когда результат умножения превышает максимально возможное для данной разрядности значение. Эта ситуация считается в ЭВМ исключительной. При ее возникновении записать получившееся значение невозможно. В этом случае устанавливается в “1” специальный флаг переполнения, старший бит результата (бит переноса из старшего разряда слова) теряется, а в качестве результата выдается искаженное число. Описываемая ситуация не считается критической, и после окончания данной операции вычисления продолжаются. Таким образом, программист сам должен позаботиться о корректной реакции на возникновение переполнения, используя для обнаружения указанной ситуации содержимое флага переполнения.

Иначе обстоит дело с операцией деления. При делении целого числа на другое целое результат совсем не обязательно должен быть целым. А поскольку и результат должен быть представлен целым числом, возникает коллизия, которую проиллюстрируем примером:

5 / 2 = 2

5 / 3 = 1

5 / 4 = 1

5 / 5 = 1

5 / 6 = 0

И в отличие от умножения, с позиций ЭВМ никаких ошибок при этом нет, и никакие флаги не устанавливаются, а указанные особенности деления целых должны учитываться программистом самостоятельно. В ряде языков программирования эти особенности отражаются набором допустимых арифметических операций. Так, например, в языке Паскаль для целых (integer) определены две операции: