их можно считать высказываниями. Поэтому логика, построенная на этих двух условиях, может получить весьма широкое применение. Естественно, существуют такие «тонкие обстоятельства», при которых некоторых изъявительных предложений нельзя считать высказываниями (например, если дано предложение : «Иван просыпается», вряд ли можно сомневаться в правильности или ложности предложения «Иван спит»). Математические термины определяются таким образом, что предложения, выражающие соотношения между ними, всегда считаются высказываниями; такое по­ложение существует во всех точных науках.

Понятие «высказывание» иногда обозначается словами «утверждение», «суждение».

В выводах могут фигурировать высказывания (либо в виде предпосы­лок, либо как окончательный вывод), возникшие из одного или несколь­ких высказываний, путем применения некоторого грамматического ме­тода; они называются сложными высказываниями. Во многих случаях правильность вывода зависит от вида формирования сложного высказы­вания. Поэтому необходимо заниматься видом формирования сложных высказываний некоторых типов.

Под термином калькуляции высказываний подразумевается такой метод, с помощью которого из одного или нескольких высказываний (членов операции калькуляции высказываний) получается такое выска­зывание (результат операции), правильность или ложность которого однозначно определяется правильностью или ложностью членов.

ОТРИЦАНИЕ И КОНЪЮНКЦИЯ

Двумя простейшими примерами вышеприведенной операции являются отрицание и конъюнкция. (Операция и результат операции здесь обозна­чается одним и тем же названием.)

Под отрицанием высказывания А подразумевается высказывание «Не­правильно, что А» (или некоторая грамматически преобразованная форма данного высказывания).

По значению выражения «неправильно» отрицание А правильно тогда и только тогда, если самое А неправильно; следовательно, отрицание действительно есть операция калькуляции высказываний (в соответствии с вышеприведенным определением).

Пример: Отрицанием предложения «мотор работает» является пред­ложение «неправда, что мотор работает» или, иначе: «мотор не работает».

Отрицание является одночленной операцией. Отрицание «А» обозна­чается символом «~А» (читается : «не А»). Применяются также и обозна­чения «~ А», «— А», «А».

Под конъюнкцией двух высказываний А и В подразумевается высказы­вание «А и В» (или некоторая грамматически измененная форма данного высказывания). По значению союза «и» конъюнкция является правильной тогда и только тогда, если оба ее члена правильны.

Таким образом, конъюнкция также является операцией калькуляции высказываний. Операция конъюнкции «А и В» представляет собой двучленную операцию; ее обозначают, «А & В», «АВ». При возник­новении конъюнкции союз «и» иногда заменяется другим союзом (напри­мер, «Анатолий здесь, но Бориса нет» или «Анатолий здесь, хотя Борис ушел» и т. д.). Это не влияет на правильность или ложность результата, имеет только эмоциональное значение. Иногда союз вообще пропускается. Если сказуемые двух предложений, связанных между собой путем конъ­юнкции, совпадают, то общее сказуемое представлено только в одном из предложений. Например, конъюнкция «я питаюсь хлебом и питаюсь водой» после преобразования имеет следующий вид: «я питаюсь хлебом и водой».

Изучение остальных операций калькуляции высказываний уточняется и облегчается с помощью следующего рассуждения.

Пусть свойства высказываний «правильное» и «ложное» называются логическими значениями и обозначаются знаками пил. Правильность (или ложность) некоторого высказывания А выражается и в такой форме, что логическим значением высказывания А является п (или л).

Если задаются логические значения отдельных членов в некоторой операции калькуляции высказываний, то данной операцией логическое значение результата определяется однозначно. Это позволяет определе­ние таких операций для логических значений (кроме вышеприведенного определения для высказываний) следующим образом: На место и членов и результата подставляются логические значения; причем, вместо ре­зультата подставляется логическое значение высказывания, образую­щееся данной операцией из высказываний с соответствующими членам логическими значениями.

Например, отрицания логических значений определяются так:

(так как отрицание правильного выска­зывания является ложным),

(так как отрицание ложного высказывания является правильным);

а конъюнкции логических значений так:

(так как конъюнкция двух правильных высказываний является правильной),

(так как если одно или оба из двух высказываний являются ложными, то и их конъюнкция будет ложной)

На основе вышеприведенного рассуждения изучение операций, про­веденных на высказываниях, может быть заменено изучением операций, проведенных на логических значениях. Этого достаточно для исследо­вания выводов (на уровне калькуляции высказываний).

АЛГЕБРА ЛОГИЧЕСКИХ ЗНАЧЕНИЙ

Операции, проводимые на логических значениях, называются логи­ческими операциями. Для выражения любых логических значении вво­дятся логические переменные; они обозначаются символами p, q, r, ., р, р, … Итак, логические переменные могут принимать два «значения»:

п или л.

При использовании нескольких операций последовательно порядок выполнения отдельных операции обозначается скобками; например, ~(р) А q) (иногда скобки опускаются). Например, вместо выражения (7p)/\q пишется 7р /\ q при предварительном пояснении, что в случае появления выражения без скобок знак относится только к следующему знаку.

В общем смысле слова n-членной логической операцией называется каждая такая функция, областью существования которой является упо­рядоченное множество всех выражений, образуемых из логических зна­чений пиле длиной выражения n, а значением ее является одно из двух логических значений п и л.

Любая логическая операция может быть выражена через операции от­рицания и конъюнкции.

НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ

В области операций на логических переменных помимо отрицания и конъюнкции оказываются полезными некоторые другие операции.

В области одномерных логических операций фактический интерес пред­ставляет только отрицание.

дизъюнкция

Операция называется дизъюнкцией и обозначается символом «p\/q» (иначе ее называют альтернацией, адъюнкцией, логическим сложением), или «р + q». Дизъюнкция выражается с помощью операций конъюнкции и отрицания.

Связь, созданная между двумя высказываниями при помощи уступитель­ного союза «или», является такой операцией, которой в области логиче­ских значений соответствует операция дизъюнкции: высказывание является ложным тогда и только тогда, если оба высказывания ложны.

(Союз «или» в таком случае применяется в значении допущения, если допускается правильность обоих высказываний). Например: «выпал дождь или полили парк». Поэтому такое соединение двух высказываний также называется дизъюнкцией. (Символ «V» читается также как «или»).

Операция конъюнкция выражается с помощью операций дизъюнкции.