Функции распределении и уравнение Лиувилля.

Плазмой обычно называют систему, состоящую из N частиц, из которых, по крайней мере, часть обладает электрическим зарядомом. В наиболее общем случае плазма состоит из положительных и отрицательных ионов, свободных электронов и нейтральных молекул, находящихся п различных возбужденных состояниях. Безусловно, такие системы являются очень сложными вследствие разнообразных процессов, протекающих в них.

Далее рассмотрим упрощен­ную модель—плазму, состоящую из смеси только заряженных частиц. Предположим, что всего имеется s сортов частиц; индексом

или обозначается сорт частиц. Пусть — число частиц сорта , тогда полное число частиц равно:

Электрические свойства частиц сорта характеризуются заря­дом , а динамические — массой . Обозначив через поло­жение j-й частицы сорта , а через ее импульс, гамильтониан для такой системы можно записать следую-щим образом:

(1)

где

(2)

Гамильтониан (1) описывает полностью ионизованную плаз­му, которую можно рассматривать как предельное состояние в том смысле, в каком идеальный газ является предельным состоя­нием реального газа. Однако для вычислении даже этот гамиль­тониан является весьма сложным. Эта сложность связана глав­ным образом с громоздкостью записи: наличие нескольких сортов частиц обязательно приводит к очень громоздким выражениям, в которых каждая буква снабжена большим числом верхних и нижних индексов. Такие трудности обычно не являются прин­ципиальными и их можно обойти путем выбора еще более про­стои модели, рассматривающей плазму как однокомпонентный газ заряженных частиц. Однако, чтобы быть ближе к действитель­ности, мы должны в этом случае предположить, что заряженные частицы двигаются через среду, которая обладает противополож­ным зарядом и полностью нейтрализует полный заряд газа . Гамильтониан такой системы можно записать в виде:

(3)

Этот гамильтониан описывает систему частиц, взаимодействую­щих по закону центральных парных сил с потенциалом , где е2—квадрат заряда (валентность частиц для простоты счи­тается равной единице). При этом потенциальная энергия взаимо­действия имеет вид:

(4)

Заметим, что рассмотрения, проводимые в данной курсовой, не ограничиваются только случаем плазмы, а могут быть применены к любой системе, гамильтониан которой записывается в виде (3). В общем случае параметр е2 не имеет уже смысла электрического заряда; он является просто некоторой величиной, характеризующей силу взаимодействия. Однако оказывается удобным сохранить обо­значение е2 также и в общем случае.

Следует отметить, что гамильтонианы (1) и (3) описывают газ (или плазму) в отсутствие каких-либо внешних полей. В этой части книги мы будем касаться только таких простых систем. Формальное распространение теории на случай наличия внешних полей обычно осуществляется весьма просто.

Гамильтониан (1) или (3) содержит полное динамическое описание плазмы. Из него можно вывести точные динамические уравнения движения:

(5)

Однако, даже если бы мы попытались решать эти уравнения, нам пришлось бы отказаться от этой мысли с самого начала. В нашем распоряжении имеется система 6N нелинейных дифференциаль­ных уравнений, где N — величина порядка . Следует ясно понимать, что трудности связаны не только с громоздкостью вычи-слений. Даже если бы мы могли представить себе вычисли­тельную машину, которая смогла бы решить уравнения (5), то это решение было бы абсолютно бесполезным. Действительно,чтобы придать смысл уравнениям (5), мы должны дополнить их набором из 6N начальных условий. Одновременно измерить положения и импульсы 1023 частиц или создать такую систему, в которой положения и импульсы, всех частиц имели бы заранее установленные значения,— это абсолютно невероятно для чело­веческих возможностей. Поэтому точное формальное решение (5) было бы бесполезным при исследовании любых физических процессов.

Таким образом, нам нужно ввести такое понятие, которое бы возможно ближе соответствовало макроскопическим фактам. Таким понятием является понятие ансамбля, введенное Гиббсом. Вместо рассмотрения одной-единственной системы мы будем исследовать набор систем, которые динамически идентичны (т. о. имеют один и тот же гамильтониан), но отличаются друг от друга начальными условиями. Естественной системой координат для описания таких систем является пространство 6N-измерснии, называемое фазовым пространством, координатами в котором являются положения и импульсы 6N частиц. Такой системе в задан­ном состоянии движения будет соответствовать точка в фа­зовом пространстве. Динамическое поведение системы пред­ставляется движением этой точки вдоль траектории в фазовом про­странстве. Следовательно, ансамблю, представляющему реальную систему, соответствует «облако» точек в фазовом пространстве, которые обычно считаются непрерывно распределенными. Мате­матическое описание ансамбля дается функцией, соответствую­щей плотности «облака» в каждой точке фазового пространства: