Если частота питающего генератора равна резонансной частоте контуров, т. е. wг = w0 (e = 0), то (19) упрощается

В относительных единицах выражение, описывающее резонансную кривую для тока I 2, имеет вид

(20)

Выражения (17) и (19) соответствуют (12) и (14) и описывают амплитудно-резонансные характеристики токов I1 и I2 в явной относи­тельно частоты (расстройки e) форме.

Исследуем (19) на экстремум, для чего продифференцируем (19) по e и приравняем производную нулю, т. е. dI 2 /de = 0. В результате получим . Данное уравнение имеет три корня:

(21)

При d1 = d2 получаем

(22)

Если первый корень (e1) действителен при любых соотношениях между k и d, то второй и третий корни (e2 и e3) имеют смысл только при k > d. При k<d подкоренное выражение будет мнимым и физи­ческого смысла не имеет. В этом случае физический смысл имеет только первый корень (e1), что говорит об одногорбости резонансной характеристики для I2. При k > d физический смысл имеют все три корня, что говорит о двугорбом характере резонансной характерис­тики для тока I2. Очевидно, вторичный критический коэффициент связи, лежащий на границе перехода от одногорбой кривой к двугор­бой, на основании (21) получается тогда, когда корни (21) обращаются в нуль: При d1 = d2 имеем:

k кр2 = d. (23)

Чтобы получить выражения для частот связи при k > kкр2, в (22) надо подставить значение e = а/Q = 1 — w02/w2. Тогда

(24)

Именно на частотах w01 и w02 выполняется условие резонанса, бла­годаря чему ток /а достигает максимума (рис. 5, б).

Третья резонансная частота получается из условия e1 =0, или e1=1- w02/w2=0; отсюда w = w0. При k > kкр2 на частоте w0 ре­зонансная характеристика тока I2 имеет впадину. При k < kкр2, ког­да физический смысл имеет только первый корень , системе связан­ных контуров свойственна лишь одна резонансная частота w0 на которой наблюдается максимум тока I2 (рис.5, а). Наличие одной резонансной частоты при k<kкр и появление частот связи при k>kкр хорошо иллюстрирует рис. 6.

Фазово-частотные резонансные характеристики системы двух свя­занных контуров представляют собой частотную зависимость фазово­го сдвига между токами и приложенной к системе э. д. с. Е. Как следует из (11), сдвиг фазы между током и э. д. с. Е зависит от угла -j1э, значение которого определяется (16). Сдвиг фазы между током и э. д. с. Е зависит от угла [см. (18) ] и от­личается от сдвига фазы между током и э.д.с. Е углом . Фазово-частотные характеристики системы двух связанных контуров изображены на рис. 7.

Полоса пропускания системы двух связанных контуров.

В одиночном контуре относительная рас­стройка e = 2Dw/wо = 1/Q = d. Полоса пропускания системы может быть как меньше полосы пропускания одиночного контура (при k < kкр), так и больше ее (при k³ kкр). Самой широкой полосой про­пускания системы двух связанных контуров будет такая, в пределах которой провал амплитудно-частотной резонансной характеристики системы лежит на уровне 1/ от максимального значения; при этом e=2Dw/w0 » 3.1d а коэффициент связи, обеспечивающий данную полосу, k=2.41d. Как видно, при этом полоса пропускания системы двух связанных контуров в три раза шире полосы пропускания одиноч­ного колебательного контура. При критической связи (k = kкр= d), обеспечивающей наибольшее приближение резонансной характерис­тики в пределах полосы пропускания к прямоугольнику, e= 1,41d.

Рис.6. Зависимость резонансной частоты системы двух колебательных контуров от коэффициента связи

Рис.7. Фазово-частотные характеристи­ки системы двух связанных контуров при различных коэффициентах связи

Энергетические соотношения в связанных контурах.

Рассмотрим, как распределяется мощность между связанными контурами в зави­симости от степени их связи. При этом анализировать будем типичный для практики случаи, когда каждый из контуров в отдельности на­строен в резонанс на частоту генератора w0 (т. е. Х1= 0, Х2= 0) и лишь потом подбирается связь между ними. Так как обычно выходным является второй контур и с ним связаны последующие каскады при­емного устройства, то задача состоит в передаче максимальной энергии во второй контур.

Для оценки эффективности передачи энергии во второй контур введем понятие к.п.д. системы двух связанных контуров как отноше­ние мощности, выделяемой во втором контуре, к суммарной мощно­сти в первом и втором контурах, т. е.

(25)

где и Подставив в (25) значения мощностей Р1 и Р2 получим Ток I2 заменим его значением из (13) при Х2= 0, т.е. I2=I1Xсв/r2. Тогда

Из (10) следует, что Xсв/r2=Rвн при Х2=0. Таким образом,

(26)

Из курса электротехники известно, что максимальная мощность отдается в нагрузку тогда, когда внутреннее сопротивление генера­тора равно сопротивлению нагрузки. Для случая связанных контуров это равносильно равенству r1=Rвн с точки зрения передачи максимальной энергии во второй контур из первого. При этом, как видно из (26), h=0.5, т. е. половина мощности теряется в первом контуре.

Настройка системы двух связанных контуров.

При желании пере­дать во второй контур максимальную энергию, обеспечивающую и максимальны ток в нем, прибегают к настройке системы связанных кон­туров. Для того чтобы получить самый большой ток во втором контуре, необ­ходимо выполнить два условия: с одной стороны, обеспечить равенство Х1э=0, а с другой, -r1=Rвн Первое условие может быть выполнено двумя способами: 1) настройкой системы (при наличии определенной связи между контурами) на частоту генератора из­менением параметров только одного из контуров; 2) настройкой на частоту генератора сначала первого контура при разомкнутом втором, а затем подключением и настройкой второго контура при достаточно слабой связи между контурами, чтобы осла­бить взаимное влияние.