Интересен переход от тетрагональной группы I41md = F41dm к ромбической Fdd2 путем деформации исходной тетрагональной ячейки вдоль алмазной плоскости d, при которой исчезают зеркальные плоскости m, а следовательно, и оси 41 и 43 (рис. 175, б). Таким образом, цветные мозаики могут иллюстрировать как определенные федоровские группы, так и цветные плоские группы.

Цветную симметрию можно показать на 18 точечных группах многоцветной симметрии [37] - 18 беловских группах (классах), проиллю-стрировав их трех-, четырех- или шестицветными фигурами (см. цветную вставку, рис. 176).

Выбрав из 32 точечных групп симметрии 10 групп, пригодных для , т.е. групп с осями высшего порядка, без перпендикулярных к ним осей 2, а также без параллельных им зеркальных плоскостей симметрии, делающих бессмысленным, -

, pассмотрим возможности их . Обязательным цветным элементом симметрии во всех перечисленных группах будет ось высшего порядка: 3(3), 4(4), либо 6(n) = 3 .2. Для последней следует рассмотреть два варианта: с простой и цветной осью 2. Поэтому каждая из осей 6-го порядка - поворотная (6), зеркальная () и инверсионная () - может оказаться либо шестерной цветной - 6(6), (6), , либо тройной цветной осью - 6(3), (3), ; где 6(6) = 3' . 2' , , (6) и 6(3) = 3' . 2, , (3) . (Штрихи, заимствованные из обозначений эле-ментов антисимметрии, в данном случае указывают на цветные элементы симметрии, показатели степени в скобках - на количество цветов)

Для цветных групп, подчиненных полярной , возможны 4 варианта входящих в них элементов симметрии 2-го порядка:

(см. рис. 176). Раскраска групп тетрагональной сингонии, подчиненных точечной , даст две цветные группы: и . Учитывая приведенные выше ограничения, касающиеся элементов симметрии 2-го порядка, из пяти кубических точечных групп симметрии следует исключить классы и 432. Для оставшихся двух классов - 23 и - возможны лишь три варианта цветных групп: 23' , . Однако если в первой из них три координатные оси 2-го порядка (зависимые одна от другой - 2x . 2y = = 2z - и связанные между собой осями 3) не могут быть , то в двух последних координатные плоскости m не зависят одна от другой и поэтому могут быть цветными.

Существуют и некристаллографические точечные цветные группы, где число цветов может быть кратно пяти.

Беловская цветная симметрия послужила основой для разработки различного рода расширений цветных групп симметрии. В частности, помимо выведенных выше 18 цветных точечных групп - беловских классов - были получены пространственные беловские группы, а синтез идей цветной симметрии и кратной антисимметрии привел к понятию цветной антисимметрии, которое, в свою очередь, в дальнейшем получило соответствующее развитие [43, 45, 46]. Таким образом, все новые идеи в учении о симметрии тесно переплетаются, содействуя развитию друг друга, и находят применение при описании свойств и симметрии кристаллов.

Примеры использования шубниковских и цветных групп в кристаллофизике

Группы антисимметрии и цветной симметрии используют при описании некоторых физических свойств кристаллов, например электрических (расположение электрических моментов) или магнитных (упорядоченные структуры, в которых магнитные моменты атомов могут принимать две или несколько ориентаций) [14, 31]. Так, схематично показанные на рис. 177 различные конфигурации магнитных векторов в кристаллических структурах, условно изображенные полярными стрелками, невозможно описать с использованием лишь классической симметрии или антисимметрии. Если за исходную взять точку 1 с вертикально ориентированным магнитным моментом во всех типах изображенных магнитных структур, то на рис. 177, а расположения векторов естественно описываются с помощью операций классической симметрии, т.е. поворотами вокруг оси 6-го порядка. На рис. 177, б каждый правый поворот (против часовой стрелки) на 60o сопровождается изменением направления магнитного вектора на противоположный поворотом на 180o , что делает возможным описание данной конфигурации с позиций антисимметрии - с помощью оси 6' . Переход от точки 1 в точку 2 (рис. 177, в) можно осуществить простым поворотом вокруг оси 6. При этом, казалось бы, жестко связанный с точкой магнитный момент (вектор) должен быть ориентированным в точке 2 по внешнему радиусу. Однако его истинное положение по образующей правильного шестиугольника отвечает вектору, подвергшемуся дополнительному преобразованию - повороту на 60o против часовой стрелки. Многократно повторенные операции - основная и дополнительная (60o + 60o ) - приведут к типичной неколлинеарной антиферромагнитной конфигурации. Осуществляя в качестве дополнительного преобразования поворот вектора на 60o по часовой стрелке (левый поворот), получим коллинеарную ферромагнитную структуру (рис. 177, г). Введя в качестве дополнительного преобразования к классическому повороту на 60o правый или левый поворот на 120o , получим антиферромагнитные структуры с другими ориентациями магнитных векторов (рис. 177, д, е).

Вместо магнитного момента материальным точкам пространства можно придавать иные физические характеристики, соответственно сопроводив их другими дополнительными преобразованиями, также несущими определенную физическую нагрузку. Возникающие при этом группы симметрии окажутся изоморфными соответствующим группам, которые можно назвать "цветными", приписав предварительно дополнительным преобразованиям такую абстрактную характеристику, как цвет. Таким образом, группа 6(6) (рис. 177, в) будет шестицветной, а группа 6(3) - трехцветной (ср. с 6' - двухцветной и 6 - одноцветной).