Решения этом уравнения еще не получены. Пока еще невозможно вычислить количественно теплопроводность кри­сталлов, причем математические трудности в решении урав­нения (20) не являются единственным препятствием к этому. С помощью функции распределения коэффициенты пере­носа можно получить только посредством уравнения , к которому эта функция непосредственно не применима.

Однако теория дает возможность получить полуколиче­ственные результаты, которые находятся в соответствии с экспериментом. Найдено, что при высоких температурах коэффициент теплопроводности пропорционален 1/Т. Это очень хорошо согласуется с теоретическим результатом, вы­текающим из температурной зависимости коэффициентов уравнения (20). Когда температура снижается, вероятность процессов переброса заметно убывает и роль этих процессов в образовании теплового сопротивления кристаллов при низ­ких температурах стремится к нулю. Приобретают значение другие процессы, как, например, расспяние фононов на де­фектах решетки или границах зерен; и здесь снова экспериментальные результаты согласуются с выводами теории.

Теория явлений переноса в кристаллах и в классических жидкостях в настоящее время еще несовершенна по ряду причин. В классической жидкости оказывается трудным точно установить те микрофизические случайные процессы, от которых зависит необратимость; но функции молекуляр­ного распределения и их оценка находятся в наших руках. В кристаллах подробные сведения об элементарных случай­ных процессах недостаточны для вывода соответствующих функций распределения.

К сожалению, мы мало что можем сказать о квантовой теории жидкого состояния. Экспериментальные исследования жидкого гелия, дают обширные данные, интерпретация кото­рых в настоящее время проводится почти целиком на основе модельных представлений, не связанных с какой-либо фунда­ментальной теорией. Попытки вывести выражения для рас­пределения энергетических уровней и термодинамических параметров ведутся, но пока лишь с ограниченным успехом. Однако в этом отношении имеются обнадеживающие пер­спективы.

Обычно принимается, что нижние возбужденные состоя­ния жидкого гелия должны рассматриваться как фононный газ, не отличающийся от состояний кристаллических реше­ток. Эта точка зрения подтверждается измерениями тепло­емкости, которая оказалась пропорциональной Т при темпе­ратуре ниже 0,6° К. Однако в жидкостях фононы не могут рассматриваться с помощью линейных преобразований коор­динат атомов. Отдельные колебания можно определить только как пространственные компоненты Фурье в разложении плотности. Несмотря на эту трудность, многие авторы до­стигли некоторых успехов в определении вклада фононных переменных в функцию Гамильтона и в уравнения движе­ния.

Теории придется преодолеть еще серьезные математиче­ские трудности, но можно ожидать, что она постигнет боль­ших успехов в изучении квантовых жидкостей.

Наше рассуждение в сущности сводится к тому, что элек­троны, расположенные в глубине распределения Ферми, почти «не чувствуют» влияния температуры. Их состояние определяется принципом Паули, который требует, чтобы электроны запол­няли все уровни, но не позволяет им вторгаться друг к другу па уровень. Не удивительно поэтому, что электроны, расположен­ные в глубоких внутренних оболочках ионных остовой, не следует принимать во внимание при вычислении теплоемкости твердого тела, по крайней мере до тех но)), пока температура не станет столь велика, что они смогут -возбуждаться термическим путем.

Ход Дебая.

В 1912 г. эту задачу приближенно решил Дебай, рассматри­вая твердое тело, как изотропную непрерывную среду. -

Число продольных колебаний в интервале частот ( ) в объеме V не прерывной среды равно

где а—скорость распространения продольных волн в среде.

В твердом теле помимо продольных колебаний возможны два независимых поперечных колебания. Их число в том же интервале частот

где С1 — скорость распространения поперечных колебаний.

Полное число колебаний в интервале

где с — средняя скорость упругих волн в среде, определяемая из равенства

В .непрерывной среде число собственных колебаний бесконечно. Атомная структура -твердого тела учитывается теории Дебая условием, что число нормальных колебаний равно числу степеней свободы твердого тела, т. е.

Откуда максимальная частота

а соответствующая ей минимально возможная длина волны , где а — межатомное расстояние в кристалле.

Таким образом, функция распределения частот в теории Дебая имеет вид

На рис. пунктирная линия изображает функцию распределе­ния частот в теории Дебая, а сплошная линия — решеточную функцию распределения, учитывающую дискретную структуру \кристалла и специфичную для конкретного твердого тела. Функция определяется экспериментально по рассеянию нейтронов, а теоретически — численными методами.

В качестве термодинамического потенциала кристалла по формулам можно вычислить энергию Гельмгольца, а потом определить и все другие термодинамические функции твердого тела в теории Дебая.

Вычислить внутреннюю энергию Е Действительно, получим

Для вычисления интеграла евведем новую переменную и температуру Дебая

(по порядку величины 100— 1000 К). Тогда для одного грамм-атома кристалла получаем

где функция Дебая

При высоких температурах, , в верхнем пределе интег­рала функции Дебая стоит малая величина, поэтому в подынтег­ральной функции х заведомо мало; полагая , получим

и теплоемкость имеет классическое значение

При низких температурах, , в верхнем пределе интеграла функции Дебая стоит большая величина, и так как в знаменатель подынтегральной функции входит член то этот предел можно заменить на бесконечность. Тогда

так какВнутренняя энергия

и теплоемкость ,

Таким образом, при низких температурах теплоемкость кристал­ла пропорциональна кубу температуры («закон 7»»).

Из формулы находим выражение для теплоемкости во всей области изменения температуры:

Из этой .формулы видно, что в теории Дебая теплоемкость явля­ется для всех тел одной и той же универсальной функцией . График зависимости от в приведен на •рис. Формула для теплоемкости, несмотря на приближен­ный характер теории Дебая, хорошо подтверждается на опыте. Дальнейшее развитие теории теплоемкости кристаллов связано с отказом от замены твердого тела непрерывной средой и рассмот­рением колебаний твердого тела как колебаний кристаллической решетки.

В теории Дебая можно вычислить энергию Гельмгольца и другие термодинамические величины (•)