1.2 Нелинейность.

Синергетика – это наука о самоорганизации в нелинейной среде. Нелинейность среды задается нелинейностью изменения ее параметров в пространстве.

Нелинейность – это фундаментальный концептуальный узел новой парадигмы. В математическом представлении она означает определенный вид математических уравнений, нелинейных по переменным, или содержащих коэффициенты, зависящие от свойств среды, т.е. может быть нелинейность поведения и нелинейность среды. Нелинейные уравнения могут иметь несколько качественно различных решений, которым соответствует множество путей эволюции системы. У Пригожина ветвления путей эволюции определяются критическими значениями параметров среды.

Особенности феномена нелинейности состоят в следуещем:

1. Благодаря нелинейности микрофлуктуации могут превращаться в макроизменения.

2. Определенные классы нелинейных систем демонстрируют наличие порогов чувствительности. Ниже порога все уменьшается, стирается, забывается, не оставляя никаких следов.

3. Наличие порогов приводит к локальной асимптотической устойчивости. Следы слабого воздействия пропадают и назад в то же самое состояние самостоятельно вернуться становится невозможно. Этот факт приводит к идее необратимости процессов.

4. Если порог имеет тип не стены, а столба, его начало становится точкой бифуркации, точкой, где процесс может пойти по разным направлениям. Это приводит к понятию рельефа фазового пространства.

5. Наличие точек бифуркации и неравновесности рельефа означает возможность неожиданных изменений направления течения процессов, что делает принципиально ненадежным и недостаточным прогнозы – экстраполяции от наличного. На начальной или промежуточной стадии картина процесса может быть полностью противоположна картине на развитой, асимптотической стадии. То, что растекалось и гасло, может разгораться и локализоваться.

6. Наличие точек бифуркации и потенциальных ям порождает квантовый эффект – дискретность путей эволюции нелинейных систем ( сред ), т.е. на данной нелинейной среде возможен лишь определенный спектр этих путей. Наличие порогов чувствительности является предпосылкой квантовости.

В мировоззренческом плане идея нелинейности приводит к многовариантности путей эволюции, выбору, темпу эволюции, необратимости эволюции.

1.3 Хаос.

Исходным материалом для образующихся структур является хаос. Он характеризуется неповторяемостью отклонений от среднего, самих возмущений или их последовательности. Диссипативные процессы и рассеяние представляют собой макроскопические проявления хаоса на микроуровне. Хаос по определению представляет собой отсутствие порядка, закономерностей, массовых движений частиц. Хаос выполняет три основные функции: обеспечивает начало формирования новых структур, разрушение структуры при ее приближении к идеалу, переключение режимов структур с эволюции на инволюцию и наоброт.

В первом случае хаос обеспечивает достаточное разнообразие состояний, скоростей и направлений движения частиц среды, чтобы обеспечить попадание хотя бы некоторых в устойчивые состояния и формирование центров сгущения.

Тот же хаос пытается разрушить структуру флуктуациями. Если флуктуация достаточно велика, он этого добивается. Если флуктуация мала, система вернется к прежней равновесной структуре, “ скатится “ на тот же аттрактор. Процесс при слабых флуктуациях будет иметь статистический характер.

Хаос может спасти сложную структуру от грозящего ей распада, если за счет хаоса вовремя произошел переброс системы из режима гармонизации структуры в противоположный режим. Движение к центру сменяется растеканием, разбеганием от центра, усложнение и структуирование – упрощением и сглаживанием неоднородностей.

1.4 Потоки.

Возможны следующие потоки, порождающие самоорганизующиеся структуры: - тепловой поток ( теплоперенос ),

- поток массы ( диффузия ),

- диссипативная часть тензора давления ( вязкое течение ),

- скорость реакции ( химическая реакция ),

- поток денег, поток событий, поток информации, поток питательных веществ.

В одной из первых обзорных статей [1] за 1979 год дается общий спектр проблем рассматриваемых синергетикой - от физики до социологии.

Наша задача ограничивается рассмотрением одного из разделов физики – конвективная тепловая неустойчивость.

Эти вопросы рассматриваются в [4,7,9,10] и актуальны, так как досих пор нет четкого обьяснения явлений, связанных с гидродинамической неустойчивостью.

Глава 2. Неустойчивости в гидродинамике: ячейки Бенара.

Эти проблемы привлекают физиков уже в течении века [4]. Рассмотрим примеры того, как системы полностью разупорядоченные в состоянии теплового равновесия, будучи выведенными из состояния теплового равновесия, могут внезапно в высокой степени упорядочиваться. Среди этих проблем – так называемая проблема Бенара. Рассмотрим сначала проблему Бенара, или, как она называется, конвективная неустойчивость.

Пусть имеется горизонтальный слой жидкости бесконечной протяженности [4]. Снизу его подогревают, благодаря чему поддерживается температурный градиент. Выраженный в подходящих безразмерных единицах, этот градиент называется числом Рэлея Â. Пока число Рэлея не слишком велико, жидкость остается спокойной, а тепло переносится за счет теплопроводности. Однако, если Â превосходит некоторое определенное значение, в жидкости внезапно возникает конвективное движение. Конвективные структуры весьма регулярны и могут образовывать либо цилиндрические, либо гексагональные конфигурации. Шестиугольники представляют собой вид сверху конвективных ячеек. Жидкость поднимается в центре ячейки и опускается у ее границ или наоборот. Задача состоит в объяснении механизма этого внезапного перехода типа “беспорядок – порядок“ и в предсказании формы и устойчивости ячеек. В более точной теории следует включить в рассмотрение флуктуации.

С этой проблемой тесно связаны вихри Тейлора. Пусть между длинными неподвижным внешним цилиндром и концентрическим ему вращающимся внутренним цилиндром находится слой жидкости. Если скорость вращения внутреннего цилиндра, выраженная в подходящих безразмерных единицах (число Тейлора), достаточно мала, течение жидкости происходит вдоль круговых линий тока (течение Куэтта). Но если число Тейлора превосходит критическое значение, то вдоль аксиального направления появляются пространственно – периодические вихри – вихри Тейлора.

Основные физические величины в этой задаче (ячейки Бенара)– это поле скоростей точке пространства x, y, z,давление р, температура Т. Поле скоростей, давление и температура подчиняются определенным нелинейным уравнениям гидродинамики, которые можно привести к виду с явной зависимостью от числа Рэлея Â, задаваемого извне. При малых значениях мы находим решение, положив компоненты скорости равными нулю. Устойчивость этого решения доказывается путем линеаризации всех уравнений относительно стационарных значений скоростей, давления, температуры, где мы получаем затухающие волны. Если, однако, число Рэлея Â превосходит определенное критическое значение Âкр., решения становятся неустойчивыми. Решения, которые становятся неустойчивыми, определяют набор мод. Реальное поле скоростей и температуры разлагается по этим модам с неизвестными амплитудами. Для амплитуд мод мы получаем нелинейные уравнения, которые приводят к определенным конфигурациям, создающиеся устойчивыми модами. Включая в рассмотрение тепловые флуктуации, мы приходим к задаче, в которой фигурируют детерминированные силы и флуктуирующие силы. Их совместное действие определяет область перехода, где Â » Âкр