Пусть нас не интересует выпуск для внешнего потребления продукции 2-й отрасли (k=2) и мы хотим определить затраты продукции 1-й отрасли на единицу этой продукции. Из табл.2 находим, что на каждую единицу продукции 2-й отрасли (х2=1) затрачивается: продукции 1-й отрасли a12=0.4 и 2-й отрасли a22=0.1.

Таковы будут прямые затраты. Пусть нужно изготовить у2=100. Можно ли для этого планировать выпуск 1-й отрасли х1=0.4­100=40 ? Конечно, нельзя, т.к. необходимо учитывать, что 1-я отрасль часть своей продукции потребляет сама (а11=0.2), и поэтому суммарный ее выпуск следует скорректировать: х1=40+0.2­40=48. Однако и эта цифра неверна, т.к. теперь уже следует исходить из нового объема продукции 1-й отрасли – х1'=48 и т.д. Но дело не только в этом. Согласно табл.2 продукция 2-й отрасли также необходима для производства и 1-й и 2-й отраслей и поэтому потребуется выпускать больше, чем у2=100. Но тогда возрастут потребности в продукции 1-й отрасли. Тогда достаточно обратиться к составленной систем уравнений, положив у1=0 и у2=1 (см п.2):

0.8х1 - 0.4х2 = 0 (8)

-0.55х1 + 0.9х2 = 1

Решив эту систему, получим х1=0.8 и х2=1.5. Следовательно, для того чтобы изготовить единицу конечного продукта 2-й отрасли, необходимо в 1-й отрасли выпустить продукции х1=0.8. Эту величину называют коэффициентом полных затрат и обозначают ее через S12. Таким образом, если а12=0.4 характеризует затраты продукции 1-й отрасли на производство единицы продукции 2-й отрасли, используемые непосредственно во 2-й отрасли (почему они и были названы прямые затраты), то S12 учитывают совокупные затраты продукции 1-й отрасли как прямые (а12), так и косвенные затраты, реализуемые через другие (в данном случае через 1-ю же) отрасли, но в конечном счете необходимые для обеспечения выпуска единицы конечного продукта 2-й отрасли. Эти косвенные затраты составляют S12-a12=0.8-0.4=0.4

Если коэффициент прямых затрат исчисляется на единицу валового выпуска, например а12=0.4 при х2=1, то коэффициент полных затрат рассчитывается на единицу конечного продукта.

Итак, величина Sik характеризует полные затраты продукции i-й отрасли для производства единицы конечного продукта k-й отрасли, включающие как прямые (aik), так и косвенные (Sik - aik) затраты.

Очевидно, что всегда Sik > a­ik.

Если необходимо выпустить уk единиц k-го конечного продукта, то соответствующий валовый выпуск каждой отрасли составит на основании системы (8):

x1 = S1k·yk, x2 = S2k·yk, …, xn = Snk·yk (9)

что можно записать короче в виде:

_ _

x = Sk·yk (10)

Наконец, если требуется выпустить набор конечного продукта, заданный ассортиментным вектором У = : , то валовый выпуск k-й отрасли xk, необходимый для его обеспечения, определится на основании равенств (10) как скалярное произведение столбца Sk на вектор У, т.е.

_ _

xk = Sk1y1 + Sk2y2 + … + Sknyn = Sk·y , (11)

а весь вектор-план х найдется из формулы (7) как произведение матрицы S на вектор У.

Таким образом, подсчитав матрицу полных затрат S, можно по формулам (7) – (11) рассчитать валовый выпуск каждой отрасли и совокупный валовый выпуск всех отраслей при любом заданном ассортиментном векторе У.

Можно также определить, какое изменение в вектор-плане Dх = (Dх1, Dх2, …, Dхn) вызовет заданное изменение ассортиментного продукта DУ = (Dу1, Dу2, …, Dуn) по формуле:

_ _

Dх = S·DУ , (12)

Включим в наш анализ, кроме производительных затрат xik, затраты труда, капиталовложений и т.д. по каждой отрасли. Эти новые источники затрат впишутся в таблицу как новые n+1-я, n+2-я и т.д. дополнительные строки.

Обозначим затраты труда в k-ю отрасль через xn+1,k, и затраты капиталовложений – через xn+2,k (где k = 1, 2, …, n). Подобно тому как вводились прямые затраты aik,

введем в рассмотрение коэффициенты прямых затрат труда an+1,k и xk

xn+2,k

капиталовложений an+2,k = ––––– , представляющих собой расход соответствующего

xk

ресурса на единицу продукции, выпускаемую k-й отраслью. Включив эти коэффициенты в структурную матрицу (т.е. дописав их в виде дополнительных строк), получим прямоугольную матрицу коэффициентов прямых затрат:

a11 a12 … a1k … a1n

a21 a22 … a2k … a2n

При решение балансовых уравнений по-прежнему используется лишь основная часть матрицы (структурная матрица А). Однако при расчете на планируемый период затрат труда или капиталовложений, необходимых для выпуска данного конечного продукта, принимают участие дополнительные строки.

Подсчитаем необходимые при этом затраты труда Sn+1,1. Очевидно, исходя из смысла коэффициентов an+1,k прямых затрат труда как затрат на единицу продукции k-й отрасли и величин S11, S12, …, S1n, характеризующих сколько единиц продукции необходимо выпустить в каждой отрасли, получим затраты труда непосредственно в 1-ю отрасль как an+1,1S11, во 2-ю – an+1,2S21 и т.д., наконец в n-ю отрасль an+1,nSn1. Суммарные затраты труда, связанные с производством единицы конечного продукта 1-й отрасли, составят:

_ _

Sn+1,1 = an+1,1S11 + an+1,2S21 + … + an+1,nSn1 = an+1S1 ,

т.е. равны скалярному произведению (n+1)-й строки расширенной матрицы А', которую обозначим an+1, на 1-й столбец матрицы S.

Суммарные затраты труда, необходимые для производства конечного продукта k-й отрасли, составят:

_ _

Sn+1,k = an+1Sk (13)

Назовем эти величины коэффициентами полных затрат труда. Повторив все приведенные рассуждения при расчете необходимых капиталовложений, придем аналогично предыдущему к коэффициентам полных затрат капиталовложений:

_ _

Sn+2,k = an+2Sk (14)

Пользуясь этой матрицей можно рассчитать при любом заданном ассортиментном векторе У не только необходимый валовый выпуск продукции х (для чего используется матрица S), но и необходимые суммарные затраты труда xn+1, капиталовложений xn+2 и т.д., обеспечивающих выпуск данной конечной продукции У.

Очевидно,

xn+1 = Sn+1,1y1 + Sn+1,2y2 + … + Sn+1,nyn , (16)

xn+2 = Sn+2,1y1 + Sn+2,2y2 + … + Sn+2,nyn ,

т.е. суммарное количество труда и капиталовложений, необходимых для обеспечения ассортиментного вектора конечной продукции У, равны скалярным произведениям соответствующих дополнительных строк матрицы S' вектор У.

Переходя к коэффициентам прямых затрат aik, получим расширенную матрицу:

0.2 0.4

А' = 0.55 0.1

0.5 0.2

1.5 2.0

Отсюда заключаем, что запланированный выпуск конечного продукта У может быть достигнут при валовом выпуске 1-й и 2-й отраслей: х1=1000 и х2=800, при суммарных затратах труда х3=660 тыс. чел.-ч. и при затратах капиталовложений х4=3100 тыс.руб.

Рассмотренные теоретические вопросы и примеры расчета, конечно, далеко не исчерпывают важную для практики область балансовых исследований экономического роста. Здесь проиллюстрировано только направление приложения математических расчетов в экономических исследованиях.