.

x = Ö R2-( y-y0)2 + ( z-z0)2 . ( 78 )

Подстановкой формулы ( 76 ) в выражение ( 78 ) преобразуем выражение для Х:

.

x = Ö R2 - rt2 . ( 79 )

Далее для определения степени и степени поляризации воспользуемся формулами ( 16 ) - ( 19 ) применительно к конкретному объекту:

df df df 2 × x 2 ×(y-y0) 2 ×(z-z0)

n = ----- × i + ----- × j + ------ × k = ------- × i + ----------- × j + ----------- × k ; ( 80 )

dx dy dz R2 R2 R2

2 ×(y-y0) 2 ×(z-z0)

nyz = ----------- × j + ----------- × k ; ( 81 )

R2 R2

é (y-y0) ù y-y0

t = arccos | ------------------- | = arccos ------------ ; ( 82 )

ë Ö (y-y0) + (z-z0) û rt

( n* rн ) .

cosy= -------------- = x / Ö x2 + rt2 . ( 83 )

| ( n* rн ) |

По формуле ( 12 ) можно найти Р:

ì x ü

Р = a ( 1- cosy) = a × | 1 - ---------- | . ( 84 )

î Ö x2 + rt2 þ

Для получения оптико-математической модели достаточно подставить формулы ( 80 ) - ( 84 ) в формулы для видеосигналов ( 73 ) ( или ( 74 ) для случая эллиптично-поляризованного излучения ).

Вернёмся теперь к формуле ( 82 ) для азимута поляризации излучения. Как видно из этой формулы, t зависит только от y и z, а от координаты х зависимости нет. Поскольку в данной работе рассматриваются объекты, различающиеся по форме именно вдоль оси Х, а в плоскости осей Y и Z ( т.е. в кадре ) имеющие одинаковый контур, то можно сделать вывод, что значение азимута поляризации t для всех рассматриваемых здесь объектов ( конус, эллипсоид, сфера ) будет одинаковым.

Для полной ясности необходимо установить распределение азимута поляризации по поверхности этих фигур. По формуле ( 82 ) рассмотрим некоторые конкретные случаи. Например, при z=z0 и y>y0 , t=0 при z=z0 и y< y0 , t = p; при y=y0 и z> z0, t= - p /2; при y=y0 , z<z0 , t= p /2.

Если попробовать свести эти результаты к схематичному распределению азимута поляризации излучения внутри контура с учётом того, что в случаях, не указанных в примере, азимут поляризации принимает промежуточные положения, то получается рисунок 7.

Чтобы сформировать оптико-математическую модель для эллипсоида, воспользуемся рисунком 8 и уравнением эллипсоида в декартовой системе координат:

x2 ( y-y0)2 ( z-z0)2

f( x, y, z ) = ---- + --------- + --------- = 1, ( 85 )

a2 b2 c2

При моделировании для упрощения примем:

b = c = R ; ( 86 )

a = k × R, ( 87 )

где k - коэффициент сжатия.

Тогда уравнение ( 85 ) примет вид:

x2 ( y-y0)2 ( z-z0)2

f( x, y, z ) = -------- + --------- + --------- = 1, ( 88 )

k2 × R2 R2 R2

Уравнение для координаты х, исходя из выражения ( 88 ), будет следующим:

.

x = k × Ö R2 + rt2 . ( 89 )

Выражение для азимута поляризации в случае объекта типа эллипсоида, будет таким же, как для случая со сферой ( 88 ), так как азимут поляризации не зависит от координаты х:

t = arccos [(y - y0) / rt ]. ( 90 )

Степень поляризации для каждого элемента разложения кадра с координатами ( у, z ) можно определить аналогично сфере из формул ( 16 ) - ( 19 ) и ( 25 ) - ( 27 ):

.

cosy= x / Ö x2 + k4 ×( y-y0 )2+ k4 ×( z-z0 )2= x / Ö x2 + k4 × rt2 . ( 91 )

Степень поляризации, соответственно, равняется

.

P = a ×( 1 - x / Ö x2 + k4 × rt2 ) . ( 92 )

Далее, по выражения ( 73 ) ( или ( 75 ), в случае эллиптичной поляризации ) можно получить модели изображений эллипсоида при азимутах фильтра d = 00 и d = 450 соответственно. Причём, при к = 1 формулы для эллипсоида становятся аналогичными для сферы. Если в формулы ( 73 ) или ( 75 ) подставить к = 0.1, то это будет модель изображения диска. Во всех остальных случаях можно получить модели изображений эллипсоида с различными коэффициентами сжатия.

2.9. Модифицированная формула моделирования

изображения конуса.

Рассмотрим, согласно рис. 9, уравнение конуса в декартовых координатах:

f(x, y, z) = - ( h- x )2 / h2 + ( y - y0 )2 / R2 + ( z - z0)2 / R2 = 1, ( 93 )

где R - радиус основания конуса;

h - высота конуса.

Уравнение для координаты х в случае конуса будет иметь вид:

x = h × ( 1 - rt / R) . ( 94 )

Значение степени поляризации определим аналогичным образом. Для этого найдём вектора n и rt :

n = - 2 ×( h - x ) × i / h2 + 2 ×( y - y0) × j / R2 + 2 ×( z - z0) × k / R2, rн = i. ( 95 )

Тогда

.

cos y = ( h - x) / [ h2 × Ö ( h-x)2 / h4+ rн2 / R4 ] . ( 96 )

Так как ( h - x) / h = rt / R, то

.

cos y = 1 / Ö 1+ ( h/R)2 . ( 97 )

Если обозначить через k = h / 2 / R, то выражение ( 97 ) примет вид:

.

cos y = 1 / Ö 1+ 4 × k2 . ( 98 )

Далее, по выражениям ( 73 ) ( или ( 75 ) для эллиптично-поляризованного изучения ) с учётом ( 16 ) - ( 19 ) и ( 25 ) - ( 27 ), можно смоделировать изображения конуса при азимутах поляризационного фильтра 00 и 450, соответственно.

2.10. Оптико-математическая модель изображения объектов

наблюдаемых на конечном расстоянии.

До сих пор все выводы производились при условии бесконечно удалённого объекта. Если принять, что объект наблюдается тепловизионной системой на конечном расстоянии l, то геометрия наблюдения объектов изменится, а, следовательно, изменятся и сформированные модели изображений. Для того, чтобы определить оптико-математическую модель изображения объекта типа сферы, наблюдаемого на расстоянии l, рассмотрим рис.10. В соответствии с данным рисунком видим, что угол наблюдения y’в данном случае состоит из угла y - угла наблюдения при наблюдения объекта из бесконечности и a - поправки на приближение объекта к системе:

y’= y + a . ( 99 )

Угол y для сферы определяется по формуле ( 82 ), а угол a можно определить из геометрии рис.11:

a = arctg [ rt / ( l - x)]. ( 100 )

Теперь весь угол наблюдения для сферы определяется по формуле:

.

y’= arccos [ x / (Ö x2+ rt2 )] + arctg [ rt / ( l - x)]. ( 101 )

Если необходимо сформировать модель поляризационного тепловизионного изображения сферы, наблюдаемой на конечном расстоянии l, то в формуле ( 84 ) для вычисления степени поляризации нужно использовать y’ по формуле ( 101 ). Геометрия наблюдения эллипсоида из ближней зоны показана на рис. 11. Если объект типа эллипсоида наблюдается тепловизионной системой на конечном расстоянии l, то угол наблюдения y в этом случае определяется аналогично формуле ( 99 ) для сферы: