· поиск неизмеряемых факторов, отражающих те физико-хими­ческие свойства, которые оказываются слишком сложными для точного моделирования, например, таких, как:

а) времена задержки для хроматографии;

б) данные по химическому сдвигу;

в) константы равновесия и кинетические константы;

г) данные по степени превращения и селективности.

Интерпретация этих факторов может высветить новые явле­ния или подчеркнуть те физические свойства, которые помогут объяснить исходные наблюдения:

· сведение наборов химических данных с большим числом пере­менных (которые часто коррелируют, а иногда и избыточны) к на­борам с меньшим числом независимых переменных. Каждая точ­ка будет характеризоваться меньшим числом новых переменных, которые затем могут быть использованы для модельных исследо­ваний. Этот метод можно применять для многокомпонентных природных продуктов со сложными физико-химическими свойства­ми (эфирные масла, продукты из сырой нефти и т. д.), а также для замеренных в ходе процесса наборов данных;

· анализ многомерных наборов химических данных посредством графического представления объектов и переменных в векторном подпространстве с меньшим числом измерений. Подобное пред­ставление позволяет осуществить обзор всего набора данных для классификации объектов и объяснения их положения.

Цель данного пункта моего реферата — введение в методы факторного анализа с рассмотрением его теоретических основ и практических приложений.

Факторный анализ (ФА), анализ главных компонент (МГК) и факторный дискриминантный анализ (ФДА) будут представлены на различных специально подобранных примерах, иллюстрирую­щих множество областей их применения.

2.2. Операции с матрицами и многомерный анализ данных

Применение линейной алгебры в анализе данных будет проил­люстрировано на примере УФ-спектроскопии сложной смеси. В соответствии с законом Ламберта — Бера при данной частоте v полное поглощение образца, состоящего из l поглощающих компо­нентов, определяется как

, где – молярный коэффициент поглощения компонента j, а – молярная концентрация компонента j.

Если измерение проводится при п различных частотах, тогда единственное уравнение заменяется системой линейных уравнений

С использованием матриц следующую систему линейных урав­нений можно записать в виде:

Для дальнейшего упрощения выражения запишем матрицу поглощения (А) как произведение матриц коэффициентов экстинкции () и концентрации (С):

(A) = () (C)

Следует отметить, что матричные расчеты и их компьютерное применение дали тол­чок быстрому развитию многомерного анализа данных.

2.3. Свойства сингулярной матрицы

Матрица (X—Х)'(Х—) —квадратная, симметричная и положи­тельно определенная. Такие матрицы проявляют некоторые свой­ства, особенно полезные при анализе данных:

· собственные значения, действительные, а также положитель­ные или равные нулю;

· число ненулевых собственных значений равняется рангу мат­рицы;

· два собственных вектора, связанные с двумя различными соб­ственными значениями ортогональны.

В качестве иллюстрации этих свойств, а также чтобы пока­зать их важность при анализе данных можно взять матрицу дисперсий-ковариаций и определим собственные значения матрицы методом наименьших квадратов.

Решая уравнение, получаем два собственных значения:

= 0 ,

что дает =1 и =0,6.

Как , так и действительны и положительны. Ранг матрицы должен равняться 2, поскольку в системе существуют два ненуле­вых собственных значения. Компоненты собственных векторов, связанные с каждым из собственных значений, получаем из опре­деления собственных векторов следующим образом:

для первого собственного значения

для второго собственного значения

Отметим, что два связанных с каждым из собственных зна­чений вектора действительно ортогональны (т. е. их скалярное произведение равно нулю). В этих двух наборах векторов мы можем выбрать два нормированных вектора, которые соответствен­но составляют ортогональный базис:

Векторы и действительно аналогичны тем, которые опре­делены в разделе 5.2.1, а координаты матрицы данных относитель­но этой точки отклика уже вычислены:

(Y) = (X-) (U)

Заключение

Факторные методы (в том числе связанные с использованием сингулярных матриц) ныне широко применяются для анализа дан­ных в химии. Они в основном носят описательный характер и позволяют существенно сократить размерность массива данных при минимальной потере информации и возможности их графи­ческого представления.

Хотя эти методы и не обладают возможностями моделирования, как регрессионный анализ, их можно применять для идентифи­кации:

· компонентов в многокомпонентных смесях, проанализирован­ных посредством ультрафиолетового, инфракрасного и видимого излучения, флюоресценции, масс-спектрометрии, хроматографии (ФА);

· реальных физических факторов, управляющих эксперименталь­ными данными (целевой факторный анализ):

· группы, к которой можно отнести новый объект в системе ис­ходных групп, на которые был классифицирован первоначальный набор данных (ФДА).