Здесь мы рассмотрим два классических примера, которые если уж и не убедят читателя в нашем утверждении, то, по крайней мере, заставят сомневаться в безоговорочной правоте утверждений Аристотеля.

Но чтобы основательно переломить формальнологическую позицию читателя, мы покажем, что закон тождества, постоянно применяемый формальной логикой, в действительности доказывается диалектичес­кой логикой, т. е. суть становление диалектики, а отнюдь не фор­мальной логики.

А = А. Чтобы убедиться, что А = А, необходимо А наложить са­мо на себя, А должно совпасть с собой. Но прежде, чем А нало­жить на себя самою, необходимо её отделить, оторвать от самой се­бя (ибо как иначе возможно произвести наложение?). Оторвав А от самоё себя, мы видим, что А здесь одновременно не здесь. Проти­воречие! Как разрешается это противоречие? Возратом к себе, сов­падением А с самоей собой.

Наглядно ход нашего суждения представим в сжатой форме:

А - не-А - не-не-А - А. То есть ход нашего суждения есть не что иное, как становление закона тождества через отрицание и отрица­ние отрицания. Отрицание же есть не что иное, как практика чело­вечества. Когда мы непосредственно наблюдаем закон тождества как А = А, то мы его наблюдаем уже в снятом (aufheben) отрицании, ис­пытанном виде. Мы не осознаём этого, но мысленно, идеально, мгно­венно (вне "пространств(а) и времен(и)"[3.280]) мы это проделыва­ем. Мысленно, мгновенно мы проделали . -не . - не-не . -, ибо это есть не что иное, как "практика человека, миллиарды раз пов­торяясь, закрепляется в сознании человека фигурами логики. Фигуры эти имеют прочность предрассудка, аксиоматический характер именно (и только) в силу этого миллиардного повторения"[9.198].

Теперь мы рассмотрим знаменитое доказательство теоремы Пифагора и решение легендарной задачи Архимеда, чтобы видеть, как гений позволяет ""перейти границу"" [9.231].

"Теорема Пифагора

Пусть дан прямоугольный треугольник, стороны которого а, b и с (черт.1).

Черт. 1

Построим на его сторонах квадраты. Площади этих квадратов со­ответственно равны а2, b2 и с2. Докажем, что с2 = а2 + b2.

Построим два квадрата МКОР и М'К'О'Р' (черт.2, 3), приняв

черт.2 черт.3

за сторону каждого из них отрезок, равный сумме катетов прямоуго­льного треугольника АВС. Выполнив в этих квадратах построения, показанные на чертежах 2 и 3, мы увидим, что квадрат МКОР раз­бился на два квадрата с площадями а2 и b2 и четыре равных пря­моугольных треугольника, каждый из которых равен прямоугольному треугольнику АВС. Квадрат М'К'О'Р' разбился на четырехугольник (он на чертеже 3 заштрихован) и четыре прямоугольных треугольни­ка, каждый из которых также равен треугольнику АВС. Заштрихован­ный четырехугольник - квадрат, так как стороны его равны (каждая равна гипотенузе треугольника АВС, т.е. с), а углы - прямые (< 1 + < 2 = 90°, откуда < 3 = 90°).

Таким образом, сумма площадей квадратов, построенных на кате­тах (на чертеже 2 эти квадраты заштрихованы), равна площади квадрата МКОР без суммы площадей четырех равных треугольников, а площадь квадрата, построенного на гипотенузе (на чертеже 3 этот квадрат тоже заштрихован), равна площади квадрата М'К'О'Р', рав­ного квадрату МКОР, без суммы площадей четырех таких же треуго­льников. Следовательно, площадь квадрата, построенного на гипоте­нузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Получаем формулу с2 = а2 + b2, где с - гипотенуза, а и b - катеты прямоугольного треугольника.

Теорему Пифагора кратко принято формулировать так:

Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов"[10.115-116].

Доказательство теоремы Пифагора является одним из тех шедев­ров гения человечества, который своей простотой, красотой обвора­живает сердце и ум, приводит в экстаз восхищения. Такие шедевры притягательны не тем, что открывают, а, наоборот, что обнаружива­ют до осязания загадочность гениальности самой по себе и именно эта загадочность гениальности вновь и вновь манит к себе, будора­жит, пьянит.

С анализа доказательства теоремы Пифагора мы и начнем непос­редственно, конкретно убеждаться, видеть (see - видеть, понимать) правоту гения Гегеля, что вещи подчиняются логике Гегеля, вернее, наоборот, что логика Гегеля следует за развитием вещей.

До сих пор математики убеждены, что их открытия, доказатель­ства, или доказательство открытий, опирается на основные законы формальной логики, или исходят из них как из принципа, "само(го) достоверно(го) из всех начал"[8.125]. Но это убеждение математи­ков на деле является их с у щ е с т в е н н ы м з а б л у ж д е­ н и е м. При доказательстве или решении они (математики, ученые) незаметно для всех, в том числе и для себя, позволяют себе ""пе­рейти границу""[9.231], т. е. непременно нарушают категорический запрет формальной логики, взрывают ее принцип. "Они не сознают этого, но они это делают"[11.84].

Еще раз внимательно рассматриваем математическое доказатель­ство теоремы Пифагора и анализируем его, мы на конкретном окуна­емся в "бесконечный процесс раскрытия новых сторон, отноше­ний etc . бесконечный процесс углубления познания человеком ве­щи, явлений, процессов и т. д. от явлений к сущности и от менее глубокой к более глубокой сущности"[9.203].

Мы не сомневаемся в доказательстве теоремы Пифагора и его вы­воде, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. Мы категорически, существенно не соглас­ны с тем, что математическое доказательство теоремы Пифагора опи­рается на основные законы формальной логики. В этом суть! Мы сом­неваемся в последовательности хода доказательства ( и не только теоремы Пифагора) математиков. Они скрыли, утаили от нас мелочь, но мелочь существенную, точнее, они скрали, скостили от нас (и более всего от себя) существенный отрезок доказательства (факти­чески упустили суть дела).

Вопрос первый:

Откуда у математиков появились "два квадрата МКОР и М'К'О'Р'" [10.115] (черт. 2 и 3), или какова природа этих двух квадратов, что нас вынуждает их строить?

Вопрос второй:

И почему вдруг(!), неожиданно, мимоходом сообщается, что ква­драты МКОР и М'К'О'Р' "равн(ы)"[10.115]?

Откуда взялось равенство квадратов МКОР и М'К'О'Р'?

Ответ математика на последний наш вопрос:

" .Сумма площадей квадратов, построенных на катетах (на чер­теже 2 эти квадраты заштрихованы), равна площади квадрата МКОР без суммы площадей четырех равных треугольников, а площадь квад­рата, построенного на гипотенузе ( на чертеже 3 этот квадрат тоже заштрихован), равна площади квадрата М'К'О'Р', равного квадрату МКОР ."[10.116].

Стоп!

А откуда равенство квадратов М'K'О'P' и МКОР?