Подставив сюда выражения для ab, |а|и|b| через координаты векторов а и b получим эту формулу. Для любых векторов а,b и c и любого числа k справедливы равенства:

10.а2 ³) , причем а2>0 при а¹0

20.ab=ba(переместительный з-н)

30.(a+b)c=ac+bc(распределительный з-н)

40.k(ab)=(ka)b (сочетательный з-н)

Утверждения 1⁰-4⁰относятся и к планиметрии Нетрудно док-ть , что распределительный з-н имеет место для любого числа слагаемых( (a+b+c)d=ad+bd+cd.)

Билет № 12

1. Прямая и правильная призма(формулировки примеры)

2. Существование плоскости , проходящей через данную прямую и данную точку.

Билет №20

1. Фрмула обьема шара( формула примеры)

2. Теорема о трех перпендикулярах

1. Теорема: Объем шара радиуса R равен 4/3 pR3

Д-во: Рассмотрим шар радиуса R с центром в т.О и выберем ост Ох произвольным образом. Сечение шара пл. ^к оси Ох и проходящей через т М этой оси является кругом с центром в т М. Обозничим радиус этого круга r , а его площадь S(x), где х- абсц-исса т М. Выразим S(х)через х и R.Из прямоуголь-ника ОМС находим: r=ÖOC2 –OM2 =ÖR2-x2.Так как S(x)=pR2 ,то S(x)= p(R2- x2). Заметим , что эта фор-мула верна для любого положения т.М на диаметре АВ, т.е. для всех х, удовлетворяющих условию -R£ x £R. Примеряя основную формулу для вычисления объемов тел при а= -R, b=R, получим

Билет № 6

1. Расстояние между скрещивающимися прямыми (формулировки, примеры)

2. Объем конуса.

2 Теорема. Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Д-во Рассмотрим конус с объемом V, радиусом основания R, высо-той h и вершиной т О . Введем ось Ох (ОМ). Произвольное сечение конуса пл. , ^ к оси Ох , является кругом с центром в т М1 пересе-чения этой пл. с осью Ох. Обозначим радиус через R1 ,а S сечения через S(х) , где х – абсцисса т М1 . Из подобия прямоугольных ∆ ОМ1А1 и ОМА=> что

Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при а=0, b=0, получим

Площадь S основания конуса равна pR2, поэтому V=1/3Sh. Следствие. Объемом V усеченного конуса , высота кот равна h, а площадь оснований S и S1вычисляется по формуле V=1/3h(S·S1+√ S·S1).

Билет № 3

1. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

2. Объем призмы.

1.Теорема. Если прямая, ке лежащая в данной шюскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной шюскости.

Д-во. Рассмотрим пл α и две параллельные прямые a и b, распо-ложенные так, что прямая b лежит в пл α , а прямая a не лежит в этой. Докажем, что a||α. Допустим, что это не так. Тогда прямая a пересекает пл α, а значит, по лемме о пересечении плоскос­ти парал-лельными прямыми прямая b также пересекает пл α. Ho это невоз-можно, так как прямая b лежит в пл α. Итак, прямая а не пересекает пл α, поэтому она парал­лельна этой плоскости.чтд.

Докажем еще 2 утверждения,

1˚ . Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой пл, и пересекает эту пл, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.Пусть через данную прямую а, парал-лельную пл α проходит пл β, пересекающая пл α пo прямой b . До-кажем, что b||а.Действительно, эти прямые лежат в одной пл (в пл β) и не пересекаются: ведь в противном случае прямая а пересекала бы пл α, что невозможно, поскольку по условию a||α.