61. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции z = x2 + y2 + 3y – 4xy в прямоугольнике, ограниченном осями координат и прямыми x = 2, y = 1.

62. Найдите производную по направлению в точке Р0(-1, 1, 2) скалярного поля u = x2 + 2y2 + 3xy + z2.

63. Найдите наибольшую скорость изменения скалярного поля u = x4 – (y + 1)2 +(3z)2 в точке Р0(1, 1, 1).

64. Дайте определение неопределенного интеграла, сформулируйте его основные свойства.

65. Напишите формулу замены переменной в неопределенном интеграле. Сформулируйте условия, при которых она верна, и докажите ее справедливость.

66. Выведите формулу интегрирования по частям в неопределенном интеграле.

67. Какая рациональная дробь называется правильной? Сформулируйте теорему о разложении правильной рациональной дроби на простейшие.

68. Найдите интеграл от простейшей дроби 1-го типа: .

69. Найдите интеграл от простейшей дроби 2-го типа при : , где .

70. Какие подстановки называются рационализирующими интеграл ? Покажите, что универсальная подстановка является рационализирующей для интеграла от выражений, рационально зависящих от и .

71. Укажите, какие подстановки в частных случаях приводят интеграл к интегрированию более простых рациональных дробей, чем при использовании универсальной подстановки.

72. В чем состоит метод "понижения степени" для интегралов , где – целые неотрицательные числа.

73. Укажите рационализирующую подстановку для интегралов вида , где – рациональная функция своих аргументов.

74. Дайте определение определенного интеграла как предела интегральных сумм Римана и укажите условия его существования.

75. В чем состоит геометрический смысл определенного интеграла от неотрицательной функции?

76. Сформулируйте и докажите свойство линейности определенного интеграла.

77. Сформулируйте и докажите свойство аддитивности определенного интеграла по области интегрирования.

78. Сформулируйте и докажите свойство монотонности определенного интеграла.

79. Получите оценку модуля определенного интеграла.

80. Сформулируйте и докажите теорему о среднем для определенного интеграла.

81. Что понимают под интегралом с переменным верхним пределом? Докажите теорему о непрерывности и дифференцируемости интеграла с переменным верхним пределом.

82. В чем состоит связь определенного интеграла с неопределенным? Докажите формулу Ньютона-Лейбница.

83. Сформулируйте и докажите теорему о замене переменной в определенном интеграле.

84. Выведите формулу интегрирования по частям в определенном интеграле.

85. Дайте понятия несобственных интегралов от непрерывной функции на бесконечном промежутке, их сходимости и расходимости.

86. Дайте понятия несобственных интегралов от неограниченной функции на конечном промежутке, их сходимости и расходимости.

87. Напишите формулы для вычисления площади криволинейной трапеции и правильных областей относительно оси и оси .

88. Выведите формулу для вычисления площади криволинейного сектора в полярных координатах.

89. Выведите формулу для вычисления объема тела вращения.

90. Выведите формулу для вычисления длины дуги кривой в декартовых координатах.

91. Выведите формулу для вычисления длины дуги плоской кривой, заданной параметрическими уравнениями.

92. Выведите формулу для вычисления длины дуги кривой в полярных координатах.

93. Напишите формулу для вычисления площади поверхности вращения вокруг оси и сформулируйте условия, при которых она верна.

94. Дайте определение двойного интеграла и укажите его геометрический смысл для неотрицательной функции.

95. Докажите свойство линейности двойного интеграла.

96. Докажите свойство монотонности двойного интеграла.

97. Получите оценку модуля двойного интеграла.

98. Сформулируйте и докажите теорему о среднем для двойного интеграла.

99. Дайте определение тройного интеграла и получите формулу для вычисления массы неоднородного тела.

100. Сформулируйте теоремы о сведении двойных и тройных интегралов к повторным.

101. Выведите формулу для вычисления площади поверхности.

102. Дайте определение криволинейного интеграла от вектор-функции.

103. Сформулируйте свойства криволинейного интеграла.

104. Запишите формулу Грина и сформулируйте условия, при которых она справедлива.

105. Дайте определение поверхностного интеграла от вектор-функции и сформулируйте условия его существования.

106. Сформулируйте теорему о вычислении поверхностного интеграла сведением к двойному интегралу.

107. Сформулируйте свойства поверхностных интегралов.

108. Дайте определения дифференциальных операций над скалярными и векторными полями, циркуляции и потока векторного поля.

109. Напишите формулу Остроградского-Гаусса, укажите ее физический смысл и условия ее применимости.

110. Дайте определение соленоидального векторного поля и сформулируйте критерий соленоидальности.

111. Напишите формулу Стокса, укажите ее физический смысл и условия ее применения.

112. Дайте определение потенциального векторного поля и его потенциала. Сформулируйте условия потенциальности векторного поля.

113. Назовите механические приложения кратных интегралов, напишите формулы для вычисления массы и центра тяжести тела.

114. Заменив переменную, найти .

115. Заменив переменную, найти .

116. Заменив переменную, найти .

117. Интегрируя по частям, найти .

118. Интегрируя по частям, найти .

119. Разложив дробь на простейшие, найти .

120. Разложив дробь на простейшие, найти .