( 10 )

Переходя в уравнениях ( 10 ), ( 9 ), ( 6 ), ( 3 ) от изображений переменных к их оригиналам, получаем систему уравнений

( 11 )

( 12 )

( 13 )

( 14 )

Здесь - функция, определяемая нелинейной характеристикой усилителя.

Так как генератор должен самовозбуждаться, то решение системы ( 11 ) - ( 14 ) можно выполнять от любых начальных условий, в том числе и от нулевых.

2.2 Уравнение усилителя

Уравнение ( 11 ) представляет собой нелинейное уравнение, которое необходимо решать при каждом вычислении правых частей системы.

Можно решать это уравнение методом итераций. Но есть более простой путь.

Найдем из характеристики усилителя разности , а затем построим характеристику Значение известно сначала из начальных условий, а затем при каждом обращении к вычислению правых частей системы и из построенной нами характеристики всегда можно вычислить для подстановки в правые части остальных уравнений.

Вычисленная характеристика представлена в таблице 2.

Таблица 2

2.3 Конечно-элементная модель усилителя

Для построения квадратичного конечного элемента используем интерполяционную формулу Лагранжа

( 15 )

Для вычисления выходной величины автогенератора необходимо также по формуле Лагранжа по заданному значению находить .

( 16 )

Данные в этом случае необходимо выбирать из таблицы 3, полученной из таблиц 1 и 2.

Таблица 3

3. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА

Функционально программный комплекс должен состоять из двух независимых частей:

· программы - модели RC - генератора;

· набора программ обработки результатов моделирования автогенератора.

Модель RC - генератора должна, в свою очередь, включать:

· модуль, вызывающий подпрограмму метода Рунге - Кутта;

· модули метода Рунге - Кутта;

· модуль - модель усилителя;

· модуль правых частей ;

· модуль вывода результатов одного шага интегрирования.

Для программной реализации метода Рунге - Кутта удобно использовать два модуля:

· модуль, выполняющий один заданный шаг метода;

· модуль, управляющий величиной шага в зависимости от получаемой погрешности решения.

Взаимодействие этих модулей таково. Вызывающий модуль вводит значение параметра , начало и конец интервала интегрирования, максимальный шаг, начальные условия и заданную погрешность. Затем этот модуль обращается к модулю управления метода Рунге - Кутта. Последний задает величину шага подпрограмме одного шага и ведет процесс интегрирования системы уравнений, удерживая погрешность в заданных пределах. При выполнения шага, в соответствие с методом Рунге - Кутта, модуль шага четырежды обращается к модулю правых частей, а тот, в свою очередь, - к модели усилителя в виде функции . После выполнения шага, удовлетворяющего условиям точности, модуль управления вызывает подпрограмму вывода результатов шага, а она, в свою очередь обращается к модели усилителя в виде функции . Модуль управления заканчивает свою работу после достижения конца интервала интегрирования. Тогда вызывающий модуль обращается к подпрограмме вывода таблиц и графиков KRIS.

В набор подпрограмм обработки результатов моделирования необходимо включить две независимые программы:

· программу численного интегрирования по методу трапеций;

· программу аппроксимации экспериментальных зависимостей степенными многочленами методом наименьших квадратов.

4. МОДУЛИ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

4.1 Описание метода Рунге - Кутта четвертого порядка

Сначала рассмотрим применение метода для решения дифференциального уравнения, а затем для случая системы уравнений.