В результате взаимодействия этих процессов изученный материал должен представляться учащимся в сравнительно компактном виде, не затрудняющем, а, наоборот, облегчающем усвоение нового. Необходимость установления такого взаимодействия обусловливает применяемые в линии уравнений и неравенств методические приемы, в частности распределение материала обучения по ступеням.

Можно выделить четыре основные ступени: независимое изучение основных типов неравенств и их систем; постепенное расширение количества изученных классов неравенств и их систем; формирование приемов решения и анализа неравенств и их систем, имеющих широкую область применимости; синтез материала линии уравнений и неравенств. Дадим характеристику этих ступеней.

Изучение основных типов неравенств и их систем.

Среди всех изучаемых в курсе математики типов неравенств и систем выделяется сравнительно ограниченное количество основных типов, к их числу можно отнести: линейные неравенства с одним неизвестным, квадратные неравенства, простейшие иррациональные и трансцендентные неравенства.

Эти классы изучаются с большой тщательностью, для них указывается и доводится до автоматизма выполнение алгоритмов решения, указывается форма, в которой должен быть записан ответ.

Введение каждого нового основного класса неравенств сопровождается введением новой области числовых выражений, входящих в стандартную форму записи ответа. Вместе с тем, когда материал усвоен, целесообразно изредка предлагать и такие задания, в которых могут возникать нестандартные для данного класса неравенств ответы.

Каждый из основных классов неравенств и их систем требует проведения исследования зависимости результата от коэффициентов, поскольку множества решений у заданий, входящих в один и тот же класс, могут существенно различаться. Для неравенств и их систем в качестве меры различия обычно берутся простейшие особенности геометрических фигур, изображающих их множества решений на координатной прямой или плоскости. Изредка требуется выяснить положительность или отрицательность корней (если неизвестное одно), принадлежность решений уравнений с двумя неизвестными одной из координатных четвертей.

Формирование общих приемов решения и исследования неравенств

В ходе изучения неравенств становится все более заметной роль общих, универсальных средств решения и исследования. Такие обобщенные средства, приемы можно разделить на три группы.

Первая группа состоит из логических методов обоснования решения. Используя эти методы (например, равносильные преобразования или логическое следование), переходят от исходных неравенств к новым. Такие переходы делаются до тех пор, пока не получаются задания, относящиеся к известным классам.

Вторая группа состоит из вычислительных приемов, посредством которых производятся упрощения одной из частей данного неравенства, проверка найденных корней при помощи подстановки вместо неизвестного, различные промежуточные подсчеты в т.д. Возможности проведения численных расчетов резко возрастают при использовании вычислительной техники.

В третью группу входят наглядно-графические приемы. Большинство этих приемов используют в качестве основы координатную прямую либо координатную плоскость.

Использование координатной прямой позволяет решать некоторые неравенства и системы неравенств с одним неизвестным, а также неравенства с модулями. Например, прием решения систем линейных неравенств с одним неизвестным состоит в том, что на координатную прямую наносятся множества решений каждого неравенства, а потом выделяется их общая часть. Решение уравнений и неравенств с модулями связывается с геометрической интерпретацией модуля разности чисел.

Использование координатной плоскости позволяет применить графические методы к решению и исследованию неравенств и их систем как с одним, так и с двумя неизвестными. Графические приемы эффективно применяются для изображения результатов исследования там, где чисто аналитическая запись громоздка. Характерным примером служит схема, на которой приведены различные случаи решения неравенства ax²+bx+c>0, помещенная на рис.3. В результате определенной тренировки учащиеся привыкают пользоваться такой схемой, а затем ее мысленным образом.

3. Методика изучения основных классов неравенств и их систем

Эти классы можно разбить на две группы. Первая группа рациональные неравенства и системы. Наиболее важными классами соответствующие классы неравенств. Вторая группа - иррациональные и трансцендентные неравенства и системы. В состав этой группы входят иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические неравенства.

Первая группа получает достаточное развертывание, вплоть до формирования прочных навыков решения, уже в курсе алгебры неполной средней школы. Вторая же группа в этом курсе только начинает изучаться, причем рассматриваются далеко не все классы, а окончательное изучение происходит в курсе алгебры и начал анализа. При изучении второй группы приходится опираться на общие понятия и методы, относящиеся к линии неравенств. Указанное различие, однако, не является единственным, которое противопоставляет эти две группы. Более существенным является учет особенностей, связанных с развертыванием материала каждой из этих групп. По сравнению с первой группой неравенства, входящие в состав второй, в процессе их изучения обнаруживают значительно более сложные связи с другими линиями курса математики - числовой, функциональной, тождественных преобразований и др.

Последовательность изучения различных классов неравенств и систем различна в разных учебниках. Однако количество возможных вариантов для последовательности их введения не слишком велико - классы находятся в определенной логической зависимости друг от друга, которая предписывает порядок их появления в курсе.

Наличие такого разнообразия подходов затрудняет методическое описание, поскольку принятие того или иного пути требует различных приемов изучения материала.

Отметим ряд особенностей в изучении неравенств:

1) Как правило, навыки решения неравенств, за исключением квадратных, формируются на более низком уровне, чем уравнений соответствующих классов. Эта особенность имеет объективную природу: теория неравенств сложнее теории уравнений. Отмеченное обстоятельство отчасти смягчается другими особенностями изучения неравенств, поэтому в целом можно считать, что содержательная сторона неравенств, возможности их приложений от этого не страдают.

2) Большинство приемов решения неравенств состоит в переходе от данного неравенства a>b к уравнению а=b и последующем переходе от найденных корней уравнения к множеству решений исходного неравенства. Пожалуй, такого перехода не производится лишь при рассмотрении линейных неравенств, где в нем нет необходимости из-за простоты процесса решения таких неравенств. Эту особенность необходимо постоянно подчеркивать, с тем? чтобы переход к уравнениям и обратный переход превратились в основной метод решения неравенств; в старших классах он формализуется в виде "метода интервалов".