Как показано на гр. Е, рис.10, каждая фирма выпускает 1/3 Qc, а цена равна Ре. Это равновесие Курно для дуополии. Оно существовало бы. если только каждая фирма упорно полагала бы, что другая не будет регулировать свой выпуск, что подразумевает, что управление фирмы не учитывает своих ошибок, что, конечно, является большим упрощением. Но при более сложных допущениях становится сложно определить условия равновесия.

Пример Z. Отраслевой спрос на продукцию характе­ризуется функцией Р = 100 - 0.5Q; в отрасли работают две максимизирующие прибыль фирмы А и В со следующими функциями затрат: ТСа = 20 + 0.75qa^2 и ТСь = 30 + 0.5qb^2.

Выведем уравнение реакции для фирмы А. Так как MRa = 100 - qa - 0.5qь и MCa = 1.5qa, то pa = max при 100 - qa - 0.5qb = 1.5 qa Þ qa = 40 - 0.2qb.

Аналогичные расчеты для фирмы В дают ее уравнение реакции: qb = 50 - 0.25qa.

Равновесные значения цены и объемов предложения определяются из следующей системы уравнений:

P = 100 - 0.5 (qa + qb),

qa = 40 - 0.2 qb, Þ qA* = 31.6, qb* = 42.1, P* = 63.2.

qb = 50 - 0.25qa.

В состоянии равновесия прибыли фирм соответственно равны: pa = 63.2 • 31.6 - 20 - 0.75 * 31.6^2 == 1228.2, pь = 63.2*42.1 - 30 - 0.5*42.1^2 = 1744.5.

Чтобы проследить за процессом установления равновес­ной цены в модели дуополии Курно, допустим, что сна­чала в отрасли работала только фирма А. Она установила монопольную цену Рм = 80 и выпускает qm = 40. Для фирмы В, решившей в та­кой ситуации войти в отрасль, функция спроса имеет вид Р = 100 - 0.5(40 + qb), а ее предельный доход определя­ется по формуле MRb = 80- qb. Прибыль фирмы В бу­дет максимальной, если 80 - qь = qb, т. е. при выпуске 40 ед. продукции. Такой же результат получается из уравнения реакции фирмы В. Вследствие этого рыночная цена снизится до 60 ден. ед. При такой цене объем пред­ложения фирмы А уже не обеспечивает ей максимальную прибыль, и она изменит объем выпуска в соответствии со своим уравнением реакции исходя из того, что фирма В выпускает 40 ед. продукции: q’a = 40 - 0.2*40 = 32. В результате цена возрастет до 64. Ответный ход фирмы В выразится в том, что она в соответствии со своим уравне­нием реакции предложит на рынок q’b = 50 - 0.25 • 32 = 42, сбивая тем самым цену до 63. После того как фирма А в очередной раз скорректирует свой выпуск,

qa’' = 40 - 0.2 * 42 = 31.6, в отрасли установится равновесная це­на 63.2.

Обобщение модели Курно. Используя предпосылки мо­дели дуополии Курно, можно построить модель ценообра­зования при любом числе конкурентов. Примем в целях упрощения, что у всех конкурентов одинаковые экономи­ческие затраты на единицу продукции: ACi = 1 = const; i = 1, , n. Тогда прибыль i-той фирмы равна pi, = Pqi, - lqi; так как Р = g - h å qi , то прибыль i-той фирмы можно представить в виде

pi = [g - h(q1 + q2 + . + qn)] qi - lqi = gqi - hqiq1 - hqiq2 - . - hqi^2 - . - hqiqn - lqi.

Она достигает максимума при

dpi / dqi = g - hq1 - hq2 - . - 2hqi - . - hqn - l = g - hq1 - hq2 - . - hqi - . - hqn - hqi - l = 0

Поскольку g -hq1 -hq2 - .- hqn = P, то условие максими­зации прибыли для отдельной фирмы имеет вид

Р - hqi= 1. (4.25)

Из равенства (4.25) следует qi* = (P-l)/h, т. е. в состоя­нии равновесия все фирмы будут иметь одинаковый объем реализации: å qi = nqi = Q, или

qi = Q / n = (g - P) / nh (4.26)

Это вытекает из допущения, что у всех фирм одинако­вые предельные затраты производства.

Подставив значение (4.26) в уравнение (4.25), получим значение равновесной цены как функции от числа одина­ковых по размеру фирм:

P* = l + hqi = l + h ((g - P*) / nh) Þ P* = (nl + g) / (n + 1)

При n = 1 получаем монопольную цену, a по мере увеличения п цена приближается к предельным издержкам.

4. Модель Штакельберга.

Равновесие в модели Курно до­стигается за счет того, что каждый из конкурентов меняет свой объем выпуска в ответ на изменение выпуска другого до тех пор, пока такие изменения увеличивают их при­быль. В модели Штакельберга предполагается, что один из дуополистов выступает в роли лидера, а другой — в роли аутсайдера. Лидер всегда первым принимает реше­ние об объеме своего выпуска, а аутсайдер воспринимает выпуск лидера в качестве экзогенного параметра. В этом случае равновесные объемы выпуска определяются не в ре­зультате решения системы уравнений реакции дуополистов, а на основе максимизации прибыли лидера, в формуле которой вместо выпуска аутсайдера находится уравнение его реакции. Определим равновесие Штакельберга в условиях примера Z.

Если лидером является фирма А, то ее выпуск опреде­ляется из равенства MRa = МСа. Общая выручка фирмы А с учетом уравнения реакции фирмы В равна: TRa = = Pqa = [100 - 0.5(qa + 50 - 0.25qa)]qa = 75qa - 0.375 qa^2; тогда MRa = 75 - 0.75qa. Следовательно, прибыль фирмы А будет максимальной при 75 - 0.75qa = 1.5qa. Отсюда qa = 33.33; qь = 50 - 0.25 * 33.33 = 41.66; P = 100 - 0.5(33.33 + 41.66) = 62.5; pa = 62.5 * 33.3 - 20 - 0.75*33.3^2 = 1230; pb = 62.5*41.7 - 30 - 0.5 * 41.7^2 = 1707.

Таким образом, в результате пассивного поведения фирмы В ее прибыль снизилась, а фирмы А возросла. Если бы фирмы поменялись ролями, то прибыль фирмы А рав­нялась бы 1189, а фирмы В — 1747.8.

Для наглядного сопо­ставления равновесия Кур­но с равновесием Штакель­берга линии реакции дуополистов нужно дополнить линиями равной прибыли (изопрофитами). Уравне­ние изопрофиты образует­ся в результате решения уравнения прибыли дуополии относительно ее вы­пуска при заданной вели­чине прибыли. По данным примера 4.7 на рис. 4.32 построены изопрофиты и линия реакции фирмы А. Чем ниже расположена изопрофита, тем большему размеру при­были она соответствует, так как ее приближение к оси аб­сцисс соответствует росту qa и уменьшению qb.

Наложив на рис. 11 аналогичный рисунок для фирмы В, получим рис. 12, на котором равновесие Курно отме­чено точкой С, а равновесие Штакельберга точкой Sa при лидерстве фирмы А и точкой Sb при лидерстве фирмы В.

Картель. Однако наибольшие прибыли олигополисты получат в случае организации картеля — явного или скрытого сговора о распределении объема выпуска с целью под­держания монопольной цены на данном рынке. В условиях рассматриваемого числового примера суммарная прибыль участников картеля определяется по формуле

på = [100 - 0.5(qA +qB)] (qA+qB) - 20 - 0.75qA^2 - 30 - 0.5qB^2 = 100qA+ 100qB -qAqB- - 1.25qA^2 - qB^2 - 50.