Поэтому одним из направлений формировавшейся теории обыкновен­ных дифференциальных уравнений явилось разыскание методов решения нелинейных уравнений в конечной форме. Вопрос о самой возможности ре­шения в таком виде еще не возникал. Именно в этом плане развивались методы понижения порядка и интегрирующего множителя.

Наряду с этим назрела потребность в создании приемов решения линейных уравнений. Это объясняется тем, что в начале XVIII в. приобре­тает все большее значение исследование малых колебаний материальных систем с конечным числом степеней свободы, в первую очередь в предпо­ложении, что отсутствует сопротивление среды. В связи с конструирова­нием достаточно точных маятниковых часов, необходимых для астрономи­ческих наблюдений, и с первыми гравиметрическими проблемами (опреде­ление ускорения силы тяжести в зависимости от широты, выяснение сжатия Земли у полюсов) потребовалось дальнейшее развитие аналитической тео­рии математического и физического маятников, начала которой положил ранее Гюйгенс. И если в XVII в. вопрос ограничивался, как правило, изу­чением изохронного движения одной точки, то теперь в центр внимания встали системы любого конечного числа материальных точек. Отсюда берут начало и первые исследования в области колебательных процессов систем с бесконечным числом степеней свободы, начиная со знаменитой задачи о колебании струны.

Весь этот комплекс вопросов требовал создания теории линейных диф­ференциальных уравнений и их систем, как с постоянными, так и с переменными коэффициентами.

Третье большое направление было обусловлено в значительной степени нуждами опять-таки небесной механики. Мы имеем в виду численные методы приближенного интегрирования дифференциальных уравнений, без которых невозможным оказалось изучение сложных нелинейных систем, не интегрируемых в конечном виде. Наряду с усовершенствованием метода степенных рядов, успешно применявшихся в предшествующем сто­летии, уже в середине XVIII в. получают применение тригонометрические ряды. Несколько позже теория дифференциальных уравнений обогащается первым общим методом аппроксимации решения для любых уравнений пер­вого и второго порядков.

Наконец, четвертым направлением теории обыкновенных дифферен­циальных уравнений было изучение особых решений. Оно определялось главным образом запросами дифференциальной геометрии, например ис­следованием огибающих и изогональных траекторий семейств кривых (поз­же семейств поверхностей). Это направление, связанное прежде всего с изучением семейств плоских кривых и, в частности, семейств интеграль­ных линий, играло в XVIII в. меньшую роль, чем три названных ранее. Однако уже в начале второй четверти XIX в. тесно связанная с теорией особых решений проблема единственности решений задач с начальными условиями, а вместе с тем и общая проблема существования решений задачи Коши при­обрели в теории обыкновенных дифференциальных уравнений первосте­пенное значение.

Список литературы

1. Одинец В.П. Зарисовки по истории математики. Сыктывкар, 2005г.

2. Депман И. Я. История арифметики., Гос.-уч. - пед.изд. М., 1959.

3. Стройк Д. Я. Краткий очерк истории математики., Наука, М., 1990.

4. Юшкевич А. П. История математики с древнейших времен до начала XIX века. т. I, II, III, Наука, М., 1970.

5. Математика XIX века // под. ред. Колмогорова А. Н. и Юшкевича А. П. т. I, II, III, Наука, М., 1978.

6. Гнеденко Б. В. Очерки по истории математики в России., ОГИЗ ТТЛ, М.-Л. 1946.