Билет №12

1) Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b]; F-первообразная функции. В этом случае интеграл (a;b) f(x)dx = F(b) – F(a). Пример Вычислить : Интеграл (0;Пи)cos(2x – Пи/4) dx = ½sin(2x – Пи/4)|(0;Пи)= ½sin(2Пи - Пи/4) – ½sin(-Пи/4)=½sin(-Пи/4) + ½sin(Пи/4)=-SQR2/4 + SQR2/4 = 0.

2) Если каждому действительному числу поставить в соответствие его косинус, то говорят, что задана функция косинус. Свойства функции косинус 1)D(y)=R Каждому действительному числу х соответствует единственная точка единичной окружности Рх, получаемая поворотом точки Р0 (1;0) на угол х радиан. Точка Рх имеет абсциссу, равную cos x. Следовательно, для любого х определено значение функции y=cosx. 2)Множеством значений функции косинус является промежуток [-1;1], т.е. E(y)=[-1;1]. Это следует из определения косинуса: абцисса любой точки единичной окружности удовлетворяет условию –1<=Xpx <=1, т.е. –1<= cosx<=1. 3)Функция косинус является чётной, т.е. для любого x Î R выполняется равенство cos(-x)=cosx. Пусть точка Рх получина при повороте точки Ро на х радиан, а точка Р-хполучина при повороте точки Р0 на –х радиан(рис46). Треугольник ОрхР-х является равнобедренным; ON – биссектриса угла РхР-х, значит, является и высокой, проведённой к стороне РхР-х. Из этого следует, что точки Рх и Р-х имеют одну и ту же абсциссу ON, т.е. cos(-x)=cosx. 4)Функция косинус является периодической с периодом 2ПиR, где R-целое, кроме 0. Наименьшим положительным периодом косинуса являеися число 2Пи. Каждому действительному числу вида x+2ПиR, где RÎZ,соответствует единственная точка единичной окружности Рх+2ПиR, получаемая поворотом точки Р0 (1;0) на угол (x+2ПиR) радиан. Точка Рх+2ПиR имеет абсциссу, равную cosx или cos(x+2ПиR), где RÎZ. Таким образом, cosx=cos(x+2ПиR). При R=1 имеем cosx=cos(x+2Пи), следовательно, число 2Пи является периодом функции косинус. Покажем, что 2Пи – наименьший положительный период. Пусть Т-положительный период косинуса; тогда cos(x+T) = cosx при любом значении х. Это равенство должно быть верно и при х=0, т.е. cosT = cos0=0, следовательно, cosT=0. Но cosT=0, если T=2ПиR, где RÎZ. Наименьшее положительное число вида 2ПиR есть 2Пи. 5)Функция косинус принимает значение нуль при х=Пи/2 + ПиR, где RÎZ. Решением уравнения cosx=0 являются числа х+Пи/2+ПиR, где RÎZ. 6)Функция косинус принимает положительные значения при –Пи/2 + 2ПиR<x<Пи/2 + 2ПиR, где RÎZ. Функция косинус принимает отрицательные значения при Пи/2 + 2ПиR<x<3Пи/2 + 2ПиR, где RÎZ. Промежутки знакопостоянства (рис47) следуют из определения косинуса. 7)Функция косинус возрастает на промежутках [-Пи + 2ПиR; 2ПиR], где RÎZ, и убывает на промежутках [2ПиR; Пи+2ПиR], где RÎZ. Чтобы доказать утверждение о промежутках возрастания функции косинус, заметим, что cosx=sin(Пи/2+х). Функция y+sin(Пи/2 + х) возрастает, если –Пи/2 + 2ПиR<=Пи/2 + x<=Пи/2 + 2ПиR, где RÎZ; т.е. если –Пи + 2ПиR, где RÎZ; т.е. если –Пи+2ПиR<=x<=2ПиR, где RÎZ. Поскольку sin(Пи/2 + х)=cosx, функция y=cosx возрастает, если –Пи+2ПиRR<=x<=2ПиR, где RÎZ. Аналогично обосновывается утверждение о промежутках убывания функции. 8)Функция косинус имеет максимумы, равные 1, в точках 2ПиR, где RÎZ. Функция косинус имеет минимумы, равные –1, в точках Пи+2ПиR, где RÎZ. Покажем, что функция y=cosx имеет максимумы в точках 2ПиR, где RÎZ. Замечая, что cosx=sin(Пи/2 + х), найдём точки максимума функции y=sin(Пи/2+x). Её точки максимума Пи/2 + х=Пи/2+2ПиR, где RÎZ, т.е. x=2ПиR, где RÎZ. Максимум функции косинус равен 1. Аналогично проводятся рассуждения о точках минимума. 9)Функция косинус непрерывна на всей области определения.10) Функция косинус дифференцируема в каждой точке области определения; производная функции косинус вычисляется по формуле (cosx)’=-sinx.

Билет №13

1) Для того чтобы найти наибольшее(наименьшее) значение ф-ции y=f(x) имеющее на отрезке [a;b] конечное число критических точек, нужно:1. Найти критические точки, принадлежащие отрезку[a;b]; 2.найти значения ф-ции в критических точках принадлежащих отрезку [a;b];3. Найти значение ф-ции на концах отрезка;4. Из полученных чисел (значения ф-ции в критических точках и на концах промежутка ) выбрать наиболее наибольшее (наименьшее) .Пример: Найти наибольшее и наименьшее значение ф-ции y=x^3 –3x на отрезке [-1,5;3]. 1)D(y)=R; 2) найдем критические точки

y’ =3x^2 –3; А)y’ = 0 если 3x^2 -3=0; 3(x^2 –1)=0; x=0 или x=1. Б) точек в к-рых производная не существует нет. 3) y(-1)=-1+3=2; y(1)=1-3=2; y-(-1.5)=(1.5)^3-3* (-1.5)=(-1.5)^3+2*1.5^2=1.5^2(-1.5+2)=2.25*.5=1.125

y(3)=27-9=18; -2<1.125<2<18

y(1)<y(-1.5)<y(-1)<y(3).

Min [-1,5;3] y(x)=y(1)=-2

Max [-1,5;3] y(x)=y(3)=18

2) 1.sin a+ sin b = 2 sin (a+b)/2 *cos(a-b)/2,

2. sin a- sin b=2 sin(a-b)/2 *cos(a+b)/2,

3. cos a+ cos b=2 cos (a+b)/2*cos (a-b)/2

4. cos a- cos b=-2 sin (a+b)/2*sin (a-b)/2

1)Пусть a=x+y и b=x-y из этих равенств находим:

x=(a+b)/2 и y=(a-b)/2

2) выведем ф-лы для суммы и разности синусов.

Докажем формулу 1: Воспользовавшись формулами синуса суммы и синуса разности имеем sin a+sin b = =sin(x+y)+ sin(x-y)= sin x cos y+ sin y cos x+ sin x* cos y-sin y*cos x= 2sin x*cos y= 2 sin(a+b)/2*cos(a-b)/2. Таким образом sin a+ sin b=2sin(a+b)/2*cos(a-b)/2

Докажем формулу 2:

Sin a-sin b= sin (x+y)- sin(x-y)=sin x cos y+ sin y*cos x –sin x*cos y+sin y*cos x= 2 sin y*cos x=2 sin(a-b)/ 2 * cos(a+b)/2. Таким образом sin a- sin b=2 sin(a-b)/2 *cos(a+b)/2,

3) выведем ф-лы для суммы и разности косинусов.

Докажем формулу 4:

Cos a- cos b=cos(x+y)-cos(x-y)=cos x* cos y-sin x* sin y-cos x*cos y-sin x*sin y=-2sin x*sin y=-2sin(a+b)/2*sin(a-b)/2 Таким образом

cos a- cos b=-2 sin (a+b)/2*sin (a-b)/2

Билет №14

1) Пусть задана ф-ция y=f(x) ее график изображен на рис 49. Точка х1 является точкой максимума , х2 является точкой минимума, т.е. точки х1 и х2- точки экстремума. Значения ф-ции в точках экстремума наз-ся экстремумами ф-ции. Например, значения ф-ции y=cos x в точках x= 2 пи k,где k ÎZ, явл-ся экстремумами (максимумами)ф-ции,т.е. Ymax=1

2)1.Cos (a-b)=cos a*cos b +sin a*sin b;

2.cos (a+b)=cos a*cos b- sin a*sin b;

3. sin(a-b)=sin a*sin b- sin b*cos a

4. sin (a+b)=sin a*cos b+sin b*cos a

Докажем ф-лу (1): 1) проведем радиуо ОА, равный R, вокруг точки О на угол a и b (рис50). Получим радиус ОВ и радиус ОС. 2)Пусть В(х1;у1) С(х2;у2). 3) Введем векторы ОВ(х1;у1) , ОС(х2;у2)

4)По опр-ию скалярного произведения ОВ*ОС=х1*х2+у1*у2 (*) 5) по опр-ию синуса и косинуса х1=R*cos a, y1=R*sin a, x2=R* cos b, y2=R*sin b 6) заменяя в равенстве(*) х1,х2,у1,у2, получим ОВ*ОС=R^2*cos a*cos b+R^2*sin a*sin b (**). 7) По теореме о скалярном произведении векторов ОВ*ОС=|OB|*|OC|*cosÐBOC=R^2 cosÐBOC,