Тригонометрические операции над аркфункциями

Тригонометрические функции от одного и того же аргумента выражаются алгебраически одна через другую, поэтому в результате выполнения какой-либо тригонометрической операции над любой из аркфункций получается алгебраическое выражение.

В силу определения аркфункций:

sin(arcsin(x)) = x , cos(arccos(x)) = x

(справедливо только для x є [-1;1] )

tg(arctg(x)) = x , ctg(arcctg(x)) = x

(справедливо при любых x )

Графическое различие между функциями, заданными формулами:

y=x и y=sin(arcsin(x))

Сводка формул, получающихся в результате выполнения простейших тригонометрических операций над аркфункциями.

Справедливость всех этих формул может быть установлена при помощи рассуждений, приведенных ниже:

1. Т.к. cos2x + sin2x = 1 и φ = arcsin(x)

Перед радикалом следует взять знак “+”, т.к. дуга принадлежит правой полуокружности (замкнутой) , на которой косинус неотрицательный.

Значит, имеем

2. Из тождества следует:

3. Имеем

4.

Ниже приведены образцы выполнения различных преобразований посредством выведения формул.

Пример №1. Преобразовать выражение

Решение: Применяем формулу , имеем:

Пример №2. Подобным же образом устанавливается справедливость тождеств:

Пример №3. Пользуясь .

Пример №4. Аналогично можно доказать следующие тождества:

Пример №5. Положив в формулах

, и

, получим:

,

Пример №6. Преобразуем

Положив в формуле ,

Получим: