Пусть , где и

- параболическая и гиперболическая части .

Обозначим , где .

Пусть .

(1)

Рассмотрим уравнение вида:

(2)

Задача А. Найти в области решение уравнения (1)из класса , удовлетворяющее условиям

(3)

,

,

где - непрерывные достаточно гладкие функции, причем .

Пусть .

Для доказательства существования решения задачи А для уравнения (1) в области , следует решить первую задачу Дарбу

(4)

и задачу

(5)

Решение задачи (5) известно (см. курсовую работу) и имеет вид

,

где

,

,

а оператор действует следующим образом

Рассмотрим решение задачи (4).

уравнение гиперболическое. Рассмотрим характеристическое уравнение

.

Сделаем замену переменных

.

Учитывая, что

,

,

получим

,

,

а значит

.

,

получили общее решение гиперболического уравнения .

Используя условия из (4) получим

,

.

Таким образом, получили систему уравнений для определения функций и :

.

Из второго уравнения получим

.

Из первого уравнения получим

.

(6)

Для определения используем условие . В силу непрерывности частных производных из гиперболической области на линии получим

(7)