.

(8)

Аналогично из параболической области на линии получим соотношение

,

и

Обозначим

, .

(9)

Что бы найти необходимо решить систему (7), (8) при условиях

, ,

т.е. уравнение

(10)

при условиях (9).

Из (10) найдем

.

Общее решение однородного уравнения

.

Частное решение ищем в виде

.

Подставляя в уравнение найдем

,

т.е.

.

Поэтому

.

Т.к.

или

Вычтем из второго уравнения первое

т.е.

окончательно

.

Для получим

,

т.е.

.

Таким образом, получили

Поэтому

.

Тогда для получим

(11)

,

где - функция Грина, определяемая формулой

, .

Решение задачи (4) определяется формулой (6), (11).

Для доказательств единственности решения в области , докажем, что однородная задача Дарбу имеет только тривиальное решение. Для этого решим задачу (4) при условии: . Подставляя данные условия в решение полученное на основании формул (6), (11) получим:

(*)

т.е. .

Учитывая, что и условие , получим , что вместе с (8) дает уравнение для определение , т.е.

Решение (12) имеет вид:

.

С помощью (13) из (14) найдем:

т.е.

На основании (14) имеем:

Таким образом, получили, что решение однородной задачи Дарбу может быть только тривиальным. Единственность решения в области очевидна.

Литература.

1. А.Н. Зарубин Краевые задачи для дифференциальных и дифференциально-разностных уравнений. Орел 2002г.

2. Зарубин А.Н. Уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом. Учебное пособие. – Орел: ОГУ, 1999.

3. А.Н. Тихонов, А.А. Самарский Уравнения математической физики. Москва 1953г.

4. Э. Камке Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных Москва 1967г.

5. Р. Курант Уравнения с частными производными Москва 1961г.