Пусть подынтегральная ф-ия в интеграле непрерывна на Х и ф-ия дифф. на промежутке Т и имеет на нем обратную ф-ию с на промежутке Х , тогда справедливо:

Алгоритм интегрирования подстановкой.

1. Для интеграла подынтегральная ф-ия такая, что является табличным или сводится к нему так, что легко находится .

2. Нах. обратную ф-ию и подставляем в , которая и будет первообразной для исходного интеграла.

Алгоритм:

1. Часть подынтегрального выражения вводится под знак дифференциала и полученное выражение под знаком дифференциала обозначается как новая переменная.

2. В подынтегральной ф-ии делается замена переменной на новую, находится от новой переменной.

3. В возвращ. к старой переменной.

Интегрирование по частям.

Интегрирую выражение любого дифференциала произведения, получим:

Пример:

Рекомендации:

В интегралах с подынтегральным выражением вида:

(Pn –многочлен степени n )

Pn принимается за u

В интегралах с подынтегральным выражением вида:

за u ®

Интегрирование с подстановкой выражений вида после двукратного интегрирования по частям приводится к линейному уравнению относительно вычисляемого интеграла.

Интегрирование дробно-рациональных выражений

Df Дробно-рациональная ф-ия - отношение 2х многочленов - многочлены степени n и m соответственно.

Рациональная дробь правильная, если степень числителя строго меньше степени знаменателя, обратно - неправильная.

Zm Неправильная рациональная дробь путем выделения целой части приводится к сумме многочлена и правильной рациональной дроби; многочлен называется целой частью неправильной дроби.

Простейшие (элементарные) рациональные дроби и их применение.

К простым рациональным дробям относятся рациональные дроби типов:

- вещественные постоянные

2.- вещественные постоянные,

3.

4.

Интегрирование 1го типа:

Интегрирование 2го типа:

Интегрирование 3го типа:

проводится в два этапа:

1. В числителе выделяется дифференциал знаменателя:

2. Выделение полного квадрата в знаменателе второго интеграла.

Интегрирование 4го типа:

1. Выделяем в числителе *** знаменателя:

Выделяем в знаменателе 2го интеграла ф-лы квадрата:

Рекуррентная формула для вычисления Jm (вычисление происходит путем подстановки в известную форму)

Метод неопределенных коэффициентов.

1. Разложим знаменатель на множители:

2. Правильная дробь разлагается в сумму простейших и каждому множителю вида соотв. сумма из n простейших дробей вида:

с неопределенным коэф. A1 …n

Каждому множителю вида соот. сумма из m простейших дробей вида:

с неопределенным коэф.B1 C1…

3. Неизвестный коэф. находится методом неопределенных коэф., основанном на: определении, что 2 многочлена тождественно совпадают, если у них равные коэффициенты при одинаковых степенях.

4. Приравнивая коэф. при одинаковых степенях в левой и правой частях, получим систему линейных уравнений относительно неизвестного уравнения.

Определенный интеграл

Задача, приводящая к понятию определенного интеграла.

Вычисление площади криволинейной трапеции:

Df. Криволинейная трапеция – фигура на площади, ограниченной линиями с уравнениями

1. Отрезок разобьем на n частей:

*********

Длина каждого отрезка

2. Т.к. - непрерывна на , то она непрерывна на каждом частичном отрезке, принад. ****

3. Впишем в трапецию мн-к, состоящий из пр-в с основаниями, совпадающими с частичными отрезками и высотой mi

Суммируем площади пр-в – получаем площадь трапеции.

Меняя n , получаем числовую последовательность площадей, вписанных в многоугольник.