Пусть:

1. Ф-ии и дифф. в проколотой окрестности точки х0

2.

3.

то справедливо:

Доказательство:

1. Доопределим ф-ии и в точке х0 так, чтобы они стали непрерывными, т.е. ф-ия непрерывна на всей окрестности

2.применим т.Коши на интервале или

, где ζ лежит между х и х0 следовательно

Zm:Если производная ф-ии удовлетворяет правилу Лопиталя, то можно вычислять последнюю несколько раз (2,3,4…), пока она удовлетворяет условию.Правило Лопиталя применимо, когда x0 – бесконечно удаленная точка.

Дифференциал ф-ии.

Из Df дифференцируемости следует, что приращение дифф. ф-ии можно представить в виде

Из равенства нулю предела следует, что - б.м. более высшего порядка малости, чем , и

Поскольку - б.м. одного порядка малости.

- б.м. одного порядка малости - б.м. эквивылентные, т.е.

Пусть

Zm1: и х – независимые переменные, т.е.

Zm1: для независимых переменных.

Свойства дифференциала:

1.

2.

3.