Дисперсия при сгруппированных данных вычисляется:

где i изменяется от 1 до k, где k – количество разных значений .

Стандартное отклонение:

Для унимодальных симметричных распределений почти 70% значений лежит в интервале .

Свойства дисперсии:

1. Влияние на дисперсию увеличения каждого значения на какую либо константу:

, после выполнения математических операций убеждаемся, что дисперсия не изменяется.

2. Изменение дисперсии при умножении каждого исходного значения на константу:

, то есть дисперсия увеличивается на квадрат константы.

3. Дисперсия объединенной группы:

где:

- количество значений группы А, для Б аналогично

- среднее группы А, для Б аналогично

Среднее отклонение – это совокупность отклонений каждого значения от среднего, взятого по модулю:

Очень проста в вычислениях, но редко используется, ввиду того, что нет теоретического обоснования.

Стандартизованные данные

Часто появляется потребность оценить положение какого-либо конкретного значения по отношению к среднему в единицах стандартного отклонения

Любое множество данных можно преобразовать в такое множество, у которого среднее равно нулю, а стандартное отклонение равно единице.

Значение стандартизованных данных Z позволяют преобразовать множество x в произвольную шкалу с удобными характеристиками среднего и стандартизованного отклонения. Сами оценки Z могут быть отрицательными или содержать дроби. Мы избавимся от этих шероховатостей, умножая стандартизованные данные на константу и прибавляем к ним константу.

сz – будет иметь стандартное отклонение

, где с, d – константы – будут иметь среднее равное d.

Третий момент

Асимметрия – это свойство распределения частот. На практике симметричные полигоны и гистограммы не встречаются и чтобы выявить и оценить степень асимметрии, вводят следующую меру:

В единицах стандартного отклонения асимметрия равна:

Асимметрия бывает положительной и отрицательной. Положительная сдвигается влево, а отрицательная – вправо.

Чтобы упростить вычисление Ass можно использовать следующую формулу:

Асимметрия в этом уравнении принимает значения от –3 до +3

Четвертый момент

Эксцесс – это мера крутости кривой распределения. Унимодальная кривая распределения может быть островершинной, плосковершинной, средне вершинной.

Эксцесс для стандартных данных:

Эти четыре момента составляют набор особенностей распределения при анализе данных.

Нормальное распределение

Нормальное распределение лучше всего описывается кривой созданной ДеМуавром по следующей формуле:

где U – высота кривой над осью x, t и м – числа, которые определяют положение кривой относительно числовой оси и регулируют ее размах. Для м=0, t=1 график принимает вид:

Эта кривая при м=0, t=1 получила статус стандарта, ее называют единичной нормальной кривой, то есть любые собранные данные стремятся преобразовать так, чтобы кривая их распределения была максимально близка к этой стандартной кривой. Созданы статистические таблицы со значениями площади под единичной нормальной кривой влево от любой точки на оси z в (-3; 3). Общая площадь под кривой равна 1. И все остальные площади рассматривают как процент от целого.

Свойства нормальных кривых:

Семейство нормальных кривых включают в себе все кривые, которые можно получить по данной формуле, отличающиеся друг от друга только парой значений t и м .

1. 68% площади лежит в интервале

2. 95% площади лежит в интервале

3. 99,7% площади лежит в интервале

Если x имеет нормальное распределение со средним м и стандартным отклонение t, то z равное характеризуется распределением со средним равным нулю и стандартным отклонением равным 1. Площадь между двумя значениями x в нормальном распределении равна площади между их стандартизованными величинами в единичном нормальном распределении. Нормализованную кривую изобрели для решения задач теории вероятности, но оказалось на практике, что она отлично аппроксимирует распределение черт при большом числе наблюдений для множества переменных. Можно предположить, сто не имея материальных ограничений на количество объектов и время проведения эксперимента, статистическое исследование приводило к нормально кривой.

Двумерное нормальное распределение

Если при исследовании появляется вопрос о связи между двумя переменными для одного и того же объекта (например, рост и интеллект) мы говорим о двумерных связях и результаты эксперимента находят свое отражение в двумерном распределении частот.

Уравнение поверхности называется двумерным нормальным распределением (гладкая непрерывная колоколообразная поверхность)