Одной из важных числовых характеристик случайной величины является математическое ожидание. Введем понятие системы случайных величин. Рассмотрим совокупность случайных величин , которые являются результатами одного и того же случайного эксперимента. Если — одно из возможных значений системы , то событию соответствует определенная вероятность удовлетворяющая аксиомам Колмогорова. Функция , определенная при любых возможных значениях случайных величин , называется совместным законом распределения. Эта функция позволяет вычислять вероятности любых событий из . В частности, совместный закон распределения случайных величин и , которые принимают значения из множества и , задается вероятностями . Расширим понятие независимости случайных событий и введем понятие независимых случайных величин.

1) Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной, т.е. .

Доказательство. Постоянную можно рассматривать как дискретную случайную величину, принимающую единственное значение с вероятностью 1. .

2) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: .

Доказательство. Пусть случайная величина задана законом распределения вероятностей:

Очевидно, что случайная величина также является дискретной и принимает значения , , . , , . с прежними вероятностями , , . , , . т.е. закон распределения имеет вид

Тогда по определению математического ожидания .

3) Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

.

Доказательство. Рассмотрим случайную величину и докажем, что

Действительно, если и заданы рядами распределения

то, как было указано выше, случайная величина имеет следующий закон распределения: