Содержание

Введение

Глава I. Многочленные матрицы.

§1. Элементарные преобразования многочленной матрицы

§2. Канонический вид λ-матрицы

§3. Наибольшие общие делители миноров

§4. Условия эквивалентности λ-матриц

§5. Элементарные делители многочленной матрицы

Глава II. Матричные многочлены.

§1. Деление матричных многочленов. Обобщенная теорема Безу

§2. Скалярная эквивалентность

§3. Характеристический многочлен матрицы

§4. Минимальный многочлен матрицы

§5. Критерий подобия матриц

§6. Нормальная форма Жордана

Глава III. Функции от матриц.

§1. Многочлен от жордановой матрицы

§2. Скалярные функции

§3. Представление значений функций многочленами

§4. Элементарные делители функций

§5. Степенные ряды

Литература

Введение

Дипломная работа состоит из трех глав.

Первые два параграфа I главы посвящены изучению свойств многочленных матриц. В §3, этой же главы, вводятся понятия наибольших общих делителей миноров и инвариантных множителей многочленной матрицы. На основе этого в последующих двух параграфах рассматриваются условия эквивалентности λ-матриц и строится аналитическая теория элементарных делителей.

С каждой квадратной матрицей связаны два многочлена: характеристический и минимальный. Эти многочлены играют большую роль в различных вопросах теории матриц. Во II главе рассматриваются свойства характеристического и минимального многочлена. Этому исследованию предпосылаются основные сведения о многочленах с матричными коэффициентами и о действиях над ними. Последний параграф II главы посвящен нормальной форме Жордана.

В главе III, посвященной функциям от матрицы, рассмотрены вопросы матричного исчисления, для решения которых используется возможность приведения матриц к нормальной жордановой форме. В §5, этой же главы, рассмотрен вопрос о сходимости степенного ряда от матрицы А.

Приведенный материал иллюстрируется в решениях различных примеров.

Глава I. Многочленные матрицы.

§1. Элементарные преобразования многочленной матрицы.

Многочленной матрицей или λ-матрицей называется прямоугольная (в частности, квадратная) матрица А (λ) = ║аі ј (λ) ║, где i=1, 2, …, m; j=1, 2, …, n; элементы которой являются многочленами от одного переменного λ с числовыми коэффициентами из основного поля К.

Элементарными преобразованиями λ-матрицы А(λ) называются преобразования следующих типов:

I. Перестановка двух строк.

II. Умножение строки на число с Є К, с ≠ 0.

III. Прибавление к одной строке другой строки, умноженной на любой многочлен f (λ), и аналогичные преобразования столбцов.

Элементарные преобразования I, II, III равносильны умножению многочленной матрицы А(λ) слева соответственно на следующие квадратные матрицы порядка m:

(i) (j) (i) (j)

1 0 1 0 1 0

S' = с , S" = 1… b(λ) ….(i), S"' = 0 1 ,

0 1 0 1 1 0

0 1

т.е. в результате применения преобразований I, II, III матрица А(λ) преобразуется соответственно в матрицы S'· А(λ), S"· А(λ), S"'· А(λ). Поэтому преобразования типа I, II, III называются левыми элементарными операциями.

Совершенно аналогично определяются правые элементарные операции над многочленной матрицей (эти операции производятся не над строками, а над столбцами) и соответствующие им матрицы порядка n:

1 0 1 0 1 0