Изложенные рассуждения дают ответ и на вопрос о том, как по заданной матрице А найти подобную ей матрицу Жордана. Для этого достаточно составить характеристическую матрицу λЕ-А, привести ее элементарными преобразованиями к канонической диагональной форме, разложить диагональные многочлены на множители, найти элементарные делители и по ним составить матрицу Жордана. Пусть, например,

3 1 -3

А = -7 -2 9 .

-2 -1 4

Составляем характеристическую матрицу

λ-3 -1 3

λЕ-А = 7 λ+2 -9

2 1 λ-4

и ищем ее инвариантные множители. Эти множители, как легко видеть, будут 1, 1, (λ-1)(λ-2)². Следовательно, элементарные делители равны λ-1, (λ-2)² и жорданова матрица имеет вид

1 0 0

В = 0 2 1 .

0 0 2

В заключении сделаем еще одно замечание. Если элементарные делители матрицы λЕ-А окажутся первой степени, то первого порядка будут и клетки Жордана в соответствующей жордановой матрице В, т.е. матрица В будет диагональной. Обратно, если соответствующая жорданова матрица диагональна, то элементарные делители будут первой степени. Таким образом, для того чтобы заданная матрица была подобна диагональной необходимо и достаточно, чтобы все элементарные делители ее характеристической матрицы были первой степени.

Глава III. Функции от матриц.

§1. Многочлен от жордановой матрицы.

В качестве основного поля берется поле всех комплексных чисел.

Простейшими функциями от матриц являются многочлены. В дальнейшем будет дано общее определение функций от матриц, а сейчас укажем явное выражение для многочлена от матрицы, имеющей нормальную форму Жордана. Рассмотрим сначала отдельную клетку Жордана порядка n.

ρ 1 0 … 0 0

ρ 1 … 0 0 (1)

А = ……… .

ρ 1

ρ

Покажем, что для всех натуральных m имеет место формула

ρm (m) ρm-1 … (n-1) ρm-n+1

Аm = ρm … (n-2) ρm-n+2 (2)

………. ,

ρm

где положено

m m(m-1) … (m-k+1)

k 1· 2 … k .

Доказательство проще всего провести индукцией по m. Для m=1 формула (2) совпадает с (1) и поэтому верна. С другой стороны, если равенство (2) верно для какого-нибудь m, то умножая его на А, мы непосредственными вычислениями получим, что для Аm+1 формула (2) также верна.

Пусть теперь f(λ) - некоторый многочлен от λ:

f(λ) = α0 + α1λ + α 2λ² + … + αkλk.

Согласно определению

f(А) = α 0Е + α1А + α2А² + … + αkАk.

Подставляем сюда вместо матриц Аm их значения из (2), мы увидим, что в i-й строке и (i+s)-м столбце матрицы f(А) стоит выражение

k

∑ αm m(m-1) … (m-s) ρm-s 1 fs (ρ) .

m=0 1 ∙ 2 … s 1 ∙ 2 … s

Следовательно окончательно имеем

f(ρ) f΄(ρ) f"(ρ) … f(n-1)(ρ)

f(ρ) f΄(ρ) … f(n-2)(ρ) (3)

f(А) = ………………… .

f(ρ)

Мы вычислили пока значение многочлена от клетки Жордана. Однако общая жорданова матрица А есть прямая сумма отдельных клеток Жордана:

А = А1 + А2 + … + Аs,

и отсюда имеем

f(А) = f(А1) + f(А2) + … + f(Аs). (4)

Здесь f(А1), …, f(Аs) - многочлены от отдельных клеток Жордана, выражения которых даны формулой (3). Этот результат можно применить и к вычислению многочленов от матриц А, не имеющих формы Жордана. В самом деле, сначала ищем такое Т, чтобы матрица Т-1АТ = В имела нормальную форму Жордана; затем вычисляем f(В) согласно формулам (3) и (4) и, наконец, в силу отношения

f(А) = f(ТВТ-1) = Тf(В) Т-1

получаем значение f(А).

§2. Скалярные функции

Общее понятие матричных функций определяется совершенно аналогично понятию обыкновенных числовых функций. Именно рассмотрим некоторое множество матриц m. Если каждой матрице А из m поставлена в соответствие некоторая матрица В, то говорят, что В есть функция от А, определенная на m. Мы хотим теперь каждой обыкновенной числовой функции ρ= f(λ) , заданной на некотором множестве комплексных чисел и удовлетворяющей сформулированным ниже требованиям, поставить в соответствие определенную матричную функцию f(А). Соответствие это строится следующим образом. Пусть даны некоторая числовая функция ρ= f(λ) и произвольная матрица А. Обозначим через ρ1, ρ2, …, ρs различные собственные значения матрицы А. Приведем А к нормальной форме Жордана:

Т-1АТ = В =В1 + В2 + … + Вt ,

где В1, …, Вt - клетки Жордана, и рассмотрим какую-нибудь из них, например

ρi 1 0 …. 0

Вi = ρi 1 …. 0 (5)

…… ,

ρi

отвечающую элементарному делителю (λ-ρi)ni. Если функция f(λ) определна в окрестности точки ρi и имеет конечные производные f´(ρ), …, f(ni-1) (ρi), то мы полагаем по определению,

f(ρi) fґ(ρi) … f(ni-1)(ρi)