α + = 2a, α = a2 + b2. (13)

При делении двух комплексных чисел в алгеб­раической форме следует ожидать, что частное вы­ражается также числом того же вида, т. е. α/β = u + vi, где u, v R. Выведем правило деления комплексных чисел. Пусть даны числа α = a + bi, β = c + di, причем β ≠ 0, т. е. c2 + d2 ≠ 0. Послед­нее неравенство означает, что c и d одновременно в нуль не обращаются (исключается случай, когда с = 0, d = 0). Применяя формулу (12) и вто­рое из равенств (13), находим:

.

Следовательно, частное двух комплексных чисел определяется формулой:

, (14)

соответствующей формуле (4).

С помощью полученной формулы для числа β = с + di можно найти обратное ему число β-1 = 1/β. Полагая в формуле (14) а = 1, b = 0, получаем

.

Эта формула определяет число, обратное данному комплексному числу, отличному от нуля; это число также является комплексным.

Например: (3 + 7i) + (4 + 2i) = 7 + 9i;

(6 + 5i) – (3 + 8i) = 3 – 3i;

(5 – 4i)(8 – 9i) = 4 – 77i;

.

Свойства действий

над комплексными числами

Для любых комплексных чисел α = a + bi, β = с + di, γ = e + fi выполняются следую­щие свойства действий сложения и умножения:

1) α + β = β + α – переместительное (коммутатив­ное) свойство сложения;

2) (α + β) + γ = α + (β + γ) – сочетательное (ассоциативное) свойство сложения;

3) αβ = βα – переместительное (комму­тативное) свойство умножения;

4) (αβ)γ = α(βγ) – сочетательное (ассоциативное) свойство умножения;

5) (α + β)γ = αγ + βγ – распределительное (дистри­бутивное) свойство умножения относительно сло­жения.

Докажем, например, первое и третье из этих свойств. По определению сложения получаем

α + β = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,

β + α = (c + di) + (a + bi) = (c + a) + (d + b)i = (a + c) + (b + d)i = α + β,

так как с + a = a + с, d + b = b + d, т. е. для любых действительных чисел выполняется переместительное (коммутативное) свойство сложения. Далее,

αβ = (a + bi)(c + di) = aс + adi + bci + bdi2 = (ac - bd) + (ad + bc)i,

βα = (c + di) (a + bi) = сa + cbi + dai + dbi2 = (ca - db) + (cb + da)i = (ac - bd) + (ad + bc)i = αβ,

поскольку для любых действительных чисел ac = ca, bd = db, т. е. выполняется перемести­тельное (коммутативное) свойство умножения.

Остальные свойства доказываются аналогично, с учетом соответствующих свойств операций над дей­ствительными числами.

Таким образом, операции над комплексными числами подчиняются тем же законам, что и опера­ции над действительными числами.

Возведение в степень комплексного числа.

Извлечение корня из комплексного числа

При возведении в степень комплексного числа пользуются формулой бинома Ньютона:

.

С помощью формулы бинома Ньютона получаем

.

В правой части этого равенства заменяют сте­пени мнимой единицы i их значениями и приводят подобные члены. Рассмотрим, как выражаются эти степени. Учитывая формулу i2 = - 1 , получаем i3 = i2 ∙ i = -1 ∙ i = - i, i4 = i3 ∙ i = -i ∙ i = -i2 = 1, i5 = i4 ∙ i = i, i6 = i5 ∙ i = i2 = -1, i7 = i6 ∙ i = -i, i8 = i7 ∙i = - i2 = 1 и т. д. В общем виде полученный результат можно записать так:

i4k = 1, i4k+1 = i, i4k+2 = -1, i4k+3 = - i (k = 0, 1, 2, …).

Например: (3 + 4i)2 = 32 + 2 ∙ 3 ∙ 4i + (4i)2 = 9 + 24i + 16i2 = 9 + 24i – 16 = -7 + 24i;

(1 + i)3 = 1 + 3i + 3i2 + i3 = 1 + 3i – 3 – i = - 2 + 2i.

Переходим к извлечению квадратного корни из комплексного числа a + bi. Квадратным корнем из комплексного числа называют такое комплексное число, квадрат которого равен данному комплексно­му числу. Обозначим это комплексное число через u + vi, т. е.

.

Последнее равенство перепишем в следующем виде:

u2 + 2uvi + v2i2 = a + bi, u2 – v2 + 2uvi = a + bi.

Учитывая определение равенства комплексных чисел (см. (10)), получаем

u2 – v2 = a, 2uv = b. (15)

Возведем в квадрат обе части каждого из этих равенств, сложим их, преобразуем полученную левую часть и извлечем квадратный корень:

(u2 – v2)2 + 4u2v2 = a2 + b2, (u2 + v2)2 = a2 + b2, u2 + v2 = .

Это уравнение и первое из уравнений (15) дают возможность определить u2 и v2 :

. (16)

Из первого уравнения находим два значения u, отличающиеся друг от друга только знаком, второе уравнение дает два значения v. Все эти значения будут действительными, поскольку при любых a и b

.

Знаки u и v следует выбирать так, чтобы выполнялось второе из равенств (15). Это дает две возможные комбинации значений u и v, т. е. два числа u1 + v1i, u2 + v2i, отличающиеся знаком.

Следовательно, извлечение квадратного корня из комплексного числа всегда возможно и дает два значения, отличающиеся друг от друга только знаком.

Например: пусть требуется извлечь квадратный корень из комплексного числа 3 — 4i, т. е. найти комплексное число u + vi такое, что (u + vi)2 = 3 – 4i. В данном случае a = 3, b = -4, поэтому уравнения (16) принимают вид

, .

Второе из равенств (15) запишется так: 2uv = - 4, uv =-2; это означает, что соответствующие зна­чения u и v имеют разные знаки. Так как u2 = 4, v2 = 1, то с учетом равенства uv = -2 находим, что u1 = 2, v1 = -1, u2 = -2, v2 = 1, т.е. 2 – i и -2 + i – значения квадратного корня из комп­лексного числа 3 – 4i.

Геометрическое изображение комплексного числа