проходящей через начало координат.

Особенно часто используются различные логарифмические функции, с помощью которых можно ²выпрямлять² графики степенных и показательных функций. Например, y = aebx; lg y = (b lg е) х + lg a. Полагая lg y = y1, lg a = A, b lg e = B запишем исходное уравнение в виде y1 = А + Вх, откуда видно, что оставив равномерной шкалу х и построив логарифмическую шкалу y1, можно изобразить исходное уравнение прямой линией. Полученная координатная сетка называется полулогарифмической.

Очевидно, что такого рода преобразования возможны и в более общем случае. Всякая неявная функция, заданная соотношением вида

аj(х) + by(y) + с = 0,

где a, b, с - постоянные, будет изображаться прямой линией на функциональной сетке, где на оси ОХ построена шкала j(х), а на оси OY - шкала функции y(y). Естественно, что функции j(х) и y(y) должны удовлетворять условиям непрерывности и монотонности. В табл. 3 приведены преобразования для некоторых функций.

Таблица 3

Линеаризация некоторых функций

Из сказанного ясна роль функциональных сеток при обработке результатов эксперимента. Если результаты эксперимента располагаются вблизи кривой, то по имеющемуся ограниченному участку кривой трудно судить, какого типа функцией ее лучше всего приближать. Переведя полученные экспериментальные данные на функциональные сетки можно оценить на какой из них эти данные ближе всего подходят к прямой и, следовательно, какой функцией лучше всего описываются.

3.3. Аналитические методы обработки результатов

Графический метод обработки результатов обладает наглядностью, относительной простотой, однако его результаты содержат определенную субъективность и относительно низкую точность.

Аналитические методы лишены в какой - то степени указанных недостатков и позволяют получить результат для более широкого класса функций с большей точностью, чем графический метод.

Существуют различные аналитические методы получения параметров эмпирических кривых в зависимости от критерия, принятого при их получении. Рассмотрим некоторые из существующих способов.

3.3.1. Способ средней

Допустим, что имеется n сочетаний xi, yi, полученных при эксперименте. Даже в том случае, если между х и y теоретически установлена функциональная связь ( в данном случае предположим, что линейная ), то наблюдаемые значения yi будут отличаться от ахi + b вследствие наличия экспериментальных ошибок. Обозначим через Di соответствующую ошибку

Di = yi - axi - b (i = 1, 2, ., n)

Если выбирать параметры а и b так, чтобы для всех n наблюдений ошибки уравновешивались, т.е. , то это привело бы нас к одному уравнению, тогда как для нахождения двух коэффициентов (а, b) их требуется два. Поэтому предположим, что уравновешивание происходит не только для всех произведенных наблюдений в целом, но и для каждой группы, содержащей половину ( или почти половину ) всех наблюдений в отдельности.

В этом случае можно прийти к системе уравнений

,

где m - число наблюдений в первой группе.

Данную систему уравнений запишем теперь в виде

.

Изложенное показывает, что метод средних ²уравновешивает² положительные и отрицательные отклонения теоретической кривой от экспериментальных значений.

Пример.Используя данные рис. 10 определим коэффициенты а, b методом средней. Для этого семь измерений разделим на две группы m = 3 первых значений, n - m = 4 последующих

; ;

; .

Получаем систему

Решая систему находим

;

b =

Таким образом способ средней дает прямую

y = 0,55х + 3,11.

В сравнении с графическим способом коэффициенты а совпадают и имеется различие в коэффициенте b.

3.3.2. Метод наименьших квадратов

В методе средних при определении коэффициентов уравнения использовалось условие равенства нулю алгебраической суммы отклонений результатов эксперимента от теоретической кривой ( в частном случае прямой ). Очевидно, что при этом Di могут быть значительной величины. Имеет значение только ²уравновешивание² положительных и отрицательных отклонений.