где

{tn} - неравномерная сетка по времени на интервале наблюдения [0,Tdata], Ndata - количество дискретных наблюдений {Sn} на этом интервале, hn = tn+1 - tn - интервал времени между наблюдениями Sn+1 и Sn. Оценку параметра также несложно получить:

(13)

При оценке исторической волатильности обычно используют несколько различных периодов наблюдения [0,Tdata], так как замечено, что оценка в модели Блэка-Сколеса сильно зависит от объема используемых данных Ndata, т.е. от числа дней торговли, учитываемых при оценке. Оценка разная для данных о цене базисного актива за последний месяц, за последний квартал, за последние полгода и т.д. Чем больший период наблюдения [0,Tdata] используется при оценке, тем более осредненная оценка исторической волатильности получается. На начало

Расчет премии подписчика опциона методом Монте-Карло

Метод Монте-Карло, в отличие от аналитического "мартингального" метода, позволяет при расчете премии опциона использовать в качестве математической модели цены базисного актива любую линейную или нелинейную систему СДУ, а не только скалярное линейное СДУ с мультипликативным шумом с постоянными коэффициентами роста и волатильности, любую нестандартную функцию выплаты, любую формулу оценки премии и любую, не обязательно хеджирующую, стратегию формирования портфеля подписчиком опциона. Все ниже перечисленные вычисления, связанные с опционами европейского и американского стиля, могут быть осуществлены методом Монте-Карло:

• расчет премии опциона для заданных параметров опциона;
• определение зависимости премии опциона от изменения параметров опциона;
• определение зависимости премии опциона от используемой математической модели цены или значения базисного актива;
• моделирование хеджирующей стратегии и расчет коэффициента хеджа;
• расчет коэффициентов чувствительности , , , и для заданных параметров опциона;
• моделирование динамики премии опциона при случайных флуктуациях цены базисного актива и безрисковой процентной ставки.

На рис.1 приведены графики зависимости премий стандартных опционов купли и продажи европейского стиля на акции с выплатой дивидендов от оставшегося времени до истечения контракта T, а на рис.2 - от цены исполнения K. Выплата дивидендов в модели учитывается посредством непрерывной процентной ставки q=10%.

Рис.1. Зависимость премии опционов купли и продажи европейского стиля от времени до истечения контракта

Расчеты получены по формулам Блэка-Сколеса при S0=40, K=42, T=0.5, r=25%, =15%, =33.5% с использованием простейшей квадратурной формулы прямоугольников для вычисления интегралов. Для таких параметров опционов получены следующие величины премий: Prcall = 4.058, Prput = 3.073.

Рис.2. Зависимость премии опционов купли и продажи европейского стиля от цены исполнения Согласно неравенству Чебышева, погрешность оценки премии методом Монте-Карло убывает пропорционально , где Nsample - объем моделируемых траекторий решения СДУ. Это значит, что при необходимости увеличения точности расчета премии в 10 раз, объем моделируемых траекторий потребуется увеличить в 100 раз. Например, для приведенных выше параметров опциона при Nsample=100 получены оценки премий Prcall = 3.523, Prput = 3.185, при Nsample = 10000 имеем Prcall = 4.138, Prput = 3.077, а при Nsample = 1000000 имеем не менее двух цифр после запятой, совпадающих с расчетом по формулам Блэка-Сколеса: Prcall =4.058, Prput =3.070. При статистическом моделировании значений ST использовалась точная формула

(14)

с шагом h = 0.5. На рис.3 приведены графики дисконтированного среднего выигрыша Pt для опционов купли и продажи американского стиля, полученные для приведенных выше параметров опциона при объеме выборки Nsample = 100000. При моделировании значений St использовалась формула (14) с шагом h = 0.025.

Рис.3. Дисконтированный средний выигрыш Pt для опционов купли и продажи американского стиля Как видно из рисунка, максимальное значение дисконтированного среднего выигрыша для обоих опционов достигается в конце интервала [0,T]. Это означает, что при выбранных параметрах премии опционов купли и продажи европейского и американского стиля совпадают и равны Prcall = 4.06, Prput = 3.07. В реальной жизни в каждом опционном классе премию приходится рассчитывать для целого набора цен исполнения, предлагаемых администрацией биржи перед торгами. Для метода Монте-Карло это означает, что необходимо провести расчеты премии последовательно для всех цен исполнения. Но так как цена базисного актива St не зависит от цены исполнения К, то расчет премий для разных К может осуществляться одновременно на одном и том же моделируемом ансамбле траекторий СДУ, что значительно снижает трудоемкость алгоритма. На рис.4 приведены графики зависимости премии опционов продажи американского и европейского стиля от цены исполнения. Как видно из рисунка, премии опционов американского и европейского стиля совпадают до тех пор, пока цена исполнения K 44, а затем премия опциона американского стиля постепенно начинает превышать премию опциона европейского стиля, причем разрыв увеличивается с ростом цены исполнения. Фактически, при K>44 премия опциона продажи американского стиля совпадает с внутренней стоимостью опциона: Prput = K - S0. Расчеты проведены при объеме выборки Nsample = 100000. При статистическом моделировании значений St использовалась формула (14) с h=0.025.