или по известной формуле векторного анализа:

(17)

Если поле плотности стационарно, то и уравнение (17) переходит в такое:

Наконец, в случае жидкости с постоянной плотностью (несжимаемая жидкость), получаем уравнение непрерывности в виде:

(18)

3. Главные напряжения в жидкости. Среднее давление. Обобщённый закон Гука. Связь между тензором напряжений и тензором деформации.

Дальнейшие дополнительные физические допущения будут касаться связи между напряжениями в жидкости и деформациями в ней. Чтобы сделать это допущение наиболее физически наглядным, необходимо сначала свести тензор напряжений и тензор деформаций к такому простейшему виду, при котором число компонент сводится к наименьшему числу.

Для этого необходимо перейти от произвольных координат к главным осям тензоров.

Обозначим главные оси тензора напряжений , , и введём следующую таблицу косинусов между произвольными осями ,, и этими главными осями:

Тогда, по доказанному свойству тензорности напряжений, можно выразить все компоненты тензора напряжений через три главных компонента, которые мы обозначим , , . Выражая старые компоненты через новые, получим:

(19)

где при условии перехода к главным осям:

(20)

поэтому окончательно получаем:

(21)

Такова зависимость компонент тензора напряжений от трёх главных компонент . Эти главные компоненты называются главными напряжениями. Отсутствие напряжений с разными индексами, то есть касательных напряжений показывает, что жидкие площадки, перпендикулярные к главным осям тензора напряжений, подвергаются действию только нормальных напряжений.

Рассмотрим линейный инвариант тензора напряжений:

(22)

Деля обе части на число 3, можно высказать следующее положение: “Среднее арифметическое из трёх нормальных напряжений, приложенных к трём взаимно перпендикулярным площадкам, в данной точке есть величина одинаковая для любых направлений этих площадок в пространстве; в частности эта величина равна среднему арифметическому трёх главных направлений”.

В дальнейшем эту величину будем называть средним давлением в данной точке вязкой жидкости, или, попросту, давлением и обозначать “”. Знак минус ставится здесь условно, и показывает что в жидкости всегда имеем дело с давлением (а не растяжением), направленным внутрь объёма. Итак, имеем:

(23)

В невязкой (идеальной) жидкости, как известно, давление по всем направлениям одинаково, там все направления - главные, так как нет касательных напряжений. В вязкой же жидкости под давлением приходится понимать среднее из нормальных напряжений, приложенных к трём взаимно-перпендикулярным площадкам.

Из кинематики жидкости известно, что в каждой точке пространства можно указать такие три направления (главные оси тензора деформаций или скоростей деформаций), где частицы, лежащие на этих осях, перемещаются вдоль этих осей, отрезки прямых, расположенных по этим осям, только удлиняются или укорачиваются, но не поворачиваются; при этом бесконечно малые площадки, перпендикулярные главным осям, будут только перемещаться параллельно самим себе и не деформироваться в направлении своих плоскостей. Отсюда вытекает, что главные оси тензора напряжений и тензора деформаций совпадают; при деформации жидкости главные удлинения вызывают соответствующие изменения в главных напряжениях, и, наоборот, отсутствие касательных деформаций (сдвигов) приводит к равенству нулю касательных напряжений.

Для количественных соотношений между компонентами тензора напряжений и тензора деформаций примем классический закон Гука о пропорциональности напряжений и деформаций, только в несколько обобщённом виде. Именно, в отличие от теории упругости, будем выражать зависимость напряжений не от деформаций, а от скоростей деформаций.

Начнём с составления зависимостей между главными направлениями, главными скоростями удлинений и другими главными элементами тензора скоростей деформаций, уже затем напишем зависимости между любыми компонентами обоих тензоров.

Согласно обобщённому закону Гука сделаем следующие предположения:

1. При отсутствии движения, то есть при равновесии жидкости; жидкость уже сжата (гидростатическое давление), и давление это имеет среднее значение “”.

2. При движении может иметь место сжимаемость жидкости, это даёт дополнительное давление, пропорциональное скорости относительного объёмного сжатия, то есть “”.

3. Главная деформация даёт слагаемое напряжение, пропорциональное главной скорости деформаций или главной скорости относительного удлинения; мы обозначим это слагаемое “”. Здесь l и m две постоянные величины, зависящие от свойств жидкости.

При этих предположениях можно написать следующую форму для главных напряжений:

(24)

Если просуммировать обе части этого уравнения по i от 1 до 3, от будем иметь:

(25)

или, замечая, что: и найдём: откуда следует:

(26)

Таким образом, при сделанных предположениях всё сводится к одному коэффициенту m, и равенство (24) принимает вид: