(27)

Желая перейти теперь к вычислению любых (а не только главных) компонентов тензора напряжений, подставим значения из (27) в равенство (21), тогда получим:

(28)

Первая сумма в равенстве (28) равна 1 или 0, в зависимости от того равняется или не равняется индекс i индексу j. Это компоненты тензорной единицы. Обозначим её так:

(29)

Обратясь ко второй сумме заметим, что её можно представить следующим образом:

(30)

Так как при слагаемые, заключённые в скобку всё равно обратятся в нуль, как скорости сдвигов главных осей.

Таким образом в выражениях компонент тензора скоростей деформаций имеем:

Можно переписать (30) в форме:

или по формуле преобразования компонент тензора к другим осям:

(31)

Подставляя выражения сумм из (29) и (31) в формулу (28), получим окончательное выражение для компонентов тензора напряжений:

(32)

или в тензорном виде:

(33)

Здесь волной обозначены тензорные символы. Отсюда видно, что тензор напряжений раскладывается на два тензора: 1) диагональный тензор, равный произведению физического скаляра на тензорную единицу, и 2) симметричный тензор, пропорциональный тензору скоростей деформации. У первого тензора все направления являются главными осями; у второго тензора, главные оси являются главными осями деформаций или скоростей деформаций, так что у тензора напряжений те же главные оси, что и у тензора деформаций, о чём уже говорилось.

Напишем ещё формулу (32) в раскрытом виде, отделив касательные напряжения от нормальных. Имеем:

а) касательные напряжения ():

(34)

б) нормальные напряжения ():

(35)

Коэффициент m, входящий в эти формулы, носит название коэффициента вязкости или коэффициента внутреннего трения жидкости.

4. Вывод уравнений Навье-Стокса. Случай несжимаемой жидкости.

Получив выражение (32) для компонент тензора напряжений, легко найти динамическое уравнение движения вязкой жидкости, выраженное через скорости движения и их производные; для этого нужно в уравнение (30) или эквивалентную систему (14) подставит вместо их выражения по (34) и (35).

В смысле выкладок проще всего поступить так: взять первое из уравнений (14) и, подставив в него значения , , из (34) и (35), получим:

или перестановкой членов:

Отсюда сразу следует:

Аналогично получим, что вообще:

(36)

Эта система трёх уравнений эквивалентна одному векторному:

(37)

Последнее уравнение и есть известное уравнение Навье-Стокса, являющееся основным уравнением динамики вязкой жидкости; к нему присоединяется уравнение неразрывности (сохранения массы):

(17)

Так как , откуда , то уравнение Навье-Стокса принимает вид:

(37)

В случае жидкости переменной плотности мы имеем ещё уравнение процесса состояния:

(38)

Система уравнений (37), (17) и (38) представляет собою систему пяти уравнений с пятью неизвестными: , , ; ; . Таким образом мы видим, что сделанные физические предположения действительно доопределили задачу.

В более общем случае движения с притоком тепла, уравнения состояния содержат ещё температуру; для определения задачи в этом случае добавляется ещё уравнение притока энергии.

В случае несжимаемой жидкости, для которой r=const и в пространстве и во времени система уравнений будет иметь вид:

(39)

К этому случаю относятся возможные движения капельных жидкостей (вода, масло и др.), движение газов со скоростями, далёкими от скорости звука и при малых колебаниях температуры потока.