где

Выводы:

Поляризация в сильном световом поле является функцией не только частоты падающего излучения, но и его третьей гармоники. Известно, что заряд, совершающий гармоническое колебание с некоторой частотой, излучает монохроматическую электромагнитную волну той же частоты. Поэтому в рассмотренной задаче появляются две волны: одна с частотой w, другая - с частотой 3w.

Таким образом, в рамках простейшей модели мы показали, каким образом из-за нелинейных свойств среды в сильном световом поле возникают высшие гармоники.

Нелинейное взаимодействие электромагнитных волн

Тензор нелинейной восприимчивости

Рассмотрим нелинейное взаимодействие двух электромагнитных полей. Одно из них, поляризованное вдоль j, описывается выражением:

а второе, поляризованное в направлении k, - выражением

Если среда нелинейная, наличие этих двух полей может привести к появлению поляризации на частотах nw1+mw2, где n и m - целые числа. Записав i-компоненту поляризации на частоте w3=w1+w2 в виде

определим тензор нелинейной восприимчивости (раньше мы использовали cijk - тензор линейной восприимчивости) dijkw3=w1+w2 с помощью следующего соотношения для комплексных амплитуд

Подобным же образом вводим тензор восприимчивости на разностной частоте dijkw3=w1-w2

где согласно (1) Ek-w2=(Ekw2)*

Рассмотрение взаимодействия электромагнитных полей начнем с записи уравнения Максвелла, выделив в явном виде поляризацию P:

Представив поляризацию в виде суммы линейного и нелинейного членов, перепишем первое уравнение.

Возьмем ротор от обеих частей второго уравнения (4) и подставим rot H из (5) (см. тж. примечание), учитывая, что div E=0:

Дальнейший анализ проведем для одномерного случая (¶/¶x=¶/¶y=0). За направление распространения берем ось Z. Ограничимся рассмотрением взаимодействия колебаний трех частот и соответствующие поля возьмем в виде бегущих плоских волн:

где ijk - декартовы координаты. Заметим, что при Pнел=0 решение уравнения (6) дается выражениями (7) с амплитудами, не зависящими от z. В качестве примера запишем i-компоненту нелинейной поляризации на частоте w1=w3-w2. Согласно (3) и (7) она имеет вид

Вернемся к уравнению (6). В одномерном случае

Дифференцируем и полагаем, что изменение комплексных амплитуд полей достаточно медленное, т.е.

Аналогичные выражения можно вывести для С2Ejw3(z,t) и С2Ekw2(z,t). Подставляя (9) в (6) и используя соотношение ¶/¶t=iw1 получим волновое уравнение для Eiw1(z,t):

Предполагаем, что при взаимодействии конечного числа полей уравнение (6) должно удовлетворяться по отдельности для компонент с различными частотами. Поставив (7а) и заметив, что w12m0e=k12, получим

или (считая s функцией частоты)

и аналогично

Эти уравнения мы применим в дальнейшем при рассмотрении ряда конкретных случаев.

Генерация второй гармоники (ГВГ)

Первый эксперимент по генерации второй гармоники света был выполнен Франкеном в 1961 году. Луч рубинового лазера с l = 694,3 нм фокусировался на поверхность пластины из кристаллического кварца. Выходящее излучение анализировалось спектрометром. Было найдено, что в нем содержится компонента с удвоенной частотой (т.е. с l = 347,15 нм). Эффективность преобразования в первых экспериментах была порядка 10-8. Использование более эффективных материалов, увеличение мощности лазера, обеспечение условий фазового синхронизма позволили в последние годы довести коэффициент преобразования почти до единицы.